Применение теории дифференциальных уравнений к исследованию динамики предприятий
ВВЕДЕНИЕ
Для планирования поведения сложных динамических экономических процессов с течением времени наиболее удобно использовать математические методы. Некоторые процессы на малом промежутке времени, или же в виду их малого количества прямых или обратных связей можно прогнозировать методами математической статистики – с помощью рядов распределения или выборки и анализа контрольной группы. Однако для процессов макроэкономики или прогнозирования динамики предприятия удобнее использовать аппарат дифференциальных уравнений.
Актуальность данной темы может быть отображена как в имитационном моделировании, которое использует аппарат дифференциальных уравнений в своем программном обеспечении для расчета и построения графиков динамики, так и в математическом моделировании движения средств предприятия с течением времени. Так, например, чтобы исследовать динамику установления уравновешенной цены на рынке одного товара, используется дифференциальные уравнения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 7
1.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 7
1.1.1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 9
1.1.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 10
1.2. Основные понятия экономической теории 11
1.3. Некоторые математические модели на основе теории дифференциальных уравнений 15
1.3.1. Модель естественного роста 15
1.3.2. Логистический рост 16
1.3.3. Неоклассические модели экономического роста 21
1.3.4. Модель Кейгана 24
ВЫВОД ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 26
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ 27
2.1. Применение простейших дифференциальных уравнений к решению задач с экономическим содержанием 27
2.1.1. Производительность труда в момент t0 27
2.1.2. Модель естественного роста выпуска продукции 27
2.1.3. Траектория динамики инфляции 28
2.2. Общий вид дифференциального уравнения, описывающего динамику функционирования малого предприятия 29
2.3. Прогнозирование динамики развития предприятия средствами дифференциальных уравнений 31
2.3.1. Задача о функции спроса 34
2.3.2. Задача о динамике прибыли предприятия 35
2.3.3. Задача о рекламе 36
2.3.4. Задача о движении фондов 37
2.3.5. Задача на определение равновесной цены, эластичности спроса и предложения, а также изменении дохода при увеличении цены. 39
ВЫВОД ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 44
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Абдрахманов В.Г. Уравнения математической физики: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по нематематическим направлениям подготовки и специальностям / В.Г. Абдрахманов, Г.Т. Булгакова. – Москва : Изд-во МАИ, 2007. – 355 с.
2. Акопов А.С. Имитационное моделирование: учебник / А.С. Акопов. – Москва : Издательство Юрайт, 2022. – 389 с.
3. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В. Амелькин. – 2-е изд., доп. – Москва : Едиториал УРСС, 2003. – 208 с.
4. Анкилов А.В. Высшая математика : учебное пособие / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов, Ю. Решетников. – Ч. 1. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 250 с.
5. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по социально-экономическим направлениям и специальностям / А.М. Ахтямов. – Изд. 2-е, испр. и доп. – Москва : Физматлит, 2008. – 464 с.
6. Бондаренко Ю.В. Математический подход к формированию компромиссной ставки налога на прибыль предприятия региона / Ю.В. Бондаренко, В.В. Макеева, О.В. Бондаренко // Управление Строительством. – 2019 – 2(15). – 114–119с.
7. Васенкова Е.К. Математика для экономистов. Дифференциальные и разностные уравнения: курс лекций / Е.К. Васенкова, Е.С. Волкова, И.Г. Шандра. – Москва : Финансовая академия, 2003. – 116 с.
8. Гамецкий А.Ф. Математическое моделирование макроэкономических процессов / А.Ф. Гамецкий, Д.И. Соломон. – Кишинев : Еврика, 1997. – 318 с.
9. Гафурова Э. А. Математическая модель динамики малых предприятий с учетом эффектов памяти / Э.А. Гафурова, Ю.Л. Михайлов, Ю.В. Грушко [и др.] // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2019. –26:1. – С. 46–53.
10. Гераськин М.И. Экономико-математическое моделирование современных промышленных комплексов / М.И. Гераськин, Г.М. Гришанов. – Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2016. – 191 с.
11. Глызин С.Д. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений : учебное пособие / С.Д. Глызин, А.О. Толбей. – Ярославль : Ярославский гос. ун-т им. П. Г. Демидова, 2011. – 67 с.
12. Демидович Б.П. Дифференциальные уравнения : учебное пособие / Б.П. Демидович, В.П. Моденов. – Изд. 3-е, стер. – Санкт-Петербург [и др.] : Лань, 2008. – 275с.
13. Ерофеенко В.Т. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций / В.Т. Ерофеенко, И.С. Козловская. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : УРСС, 2004. – 244 с.
14. Журавлев С.Г. Дифференциальные уравнения: Сборник задач: Примеры и задачи экономики, экологии и других социальных наук: Учебное пособие для вузов / С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. – Москва : издательство «Экзамен», 2005. – 128 с.
15. Математический анализ в экономических расчетах : учебное пособие / А.Ф. Зубков [и др.]. – Пенза : Изд-во Пензенской гос. технологической академии, 2008. – 240 с
16. Ильягуева М.А. Математические и инструментальные методы моделирования операций в управлении развитием промышленного предприятия / М.А. Ильягуева. – Санкт-Петербург : Изд-во Политехника, 2005. (Махачкала : ООО Деловой Мир). – 217 с.
17. Экономика и анализ деятельности промышленного предприятия: учеб.
пособие / Н.Е. Калинина, Н.А. Кузнецова, О.С. Норкина [и др.]. – Екатеринбург: Изд во Урал. ун та, 2016. – 124 с.
18. Калинина А.П. Комплексный экономический анализ предприятия : учебник / А.П. Калинина, Н.В. Войтоловский, И.И. Мазурова. – Москва [и др.] : Питер, 2012. – 569 с.
19. Дифференциальные и разностные уравнения: Учебник / В.А. Калягин, О.Р. Козырев, А.А. Куркин [и др.]. – Нижний Новгород : Нижегор. гос. техн. ун-т., 2002. – 202 с.
20. Коврижных А.Ю. Дифференциальные и разностные уравнения: учеб. пособие / А.Ю. Коврижных, О.О. Коврижных. – Екатеринбург : Изд-во Уральского университета, 2014. – 148 с.
21. Красс М.С. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – Москва : Финансы и статистика, 2007. – 544 с.
22. Красс М.С. Моделирование эколого-экономических систем: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080116 "Математические методы в экономике" и другим экономическим специальностям / М.С. Красс. – 2-е изд. – Москва : ИНФРА-М, 2013. – 271 с.
23. Высшая математика для экономического бакалавриата : учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин [и др.]. – Москва: Изд во Юрайт, 2012. – 909 с.
24. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080116 "Математические методы в экономике" и другим экономическим специальностям / Б.А. Лагоша, Т.Г. Апалькова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Финансы и статистика, 2008. – 219 с.
25. Лебедев В.В. Математические модели динамических социально-экономических процессов / В.В. Лебедев. – Москва : Государственная академия управления, 1990. – 265 с.
26. Макаров А.П. Уравнения математической физики : Учебник / А.П. Макаров. – Череповец : ГОУ ВПО ЧГУ, 2005. – 179 с.
27. Минюк С.А. Дифференциальные уравнения и экономические модели / С.А. Минюк, Н.С. Берёзкина. – Минск : Вышэйшая школа, 2007. – 141 с.
28. Найден И.В. Дифференциальные уравнения и их применение в экономике. Учебно-методическое пособие по математике и математическому анализу для студентов 1 курса ФЭМ, ФМФ и ФВМ / И.В. Найден. – Москва : ВАВТ, 2012. – 30 с.
29. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие / И.В. Орлов, В.А. Половников. – Москва: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.
30. Поташев А.В. Интеграция математического моделирования и инновационных подходов к обучению в образовании: монография / А.В. Поташев, Е.В. Поташева, Д.Ю. Сулейманова. – Москва : Ruscience, 2016. – 95 с.
31. Прасолов А.В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в экономике и инженерии : учебное пособие / А.В. Прасолов. – Санкт-Петербург: Лань, 2010. – 192 с.
32. Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики: учебное пособие / А.В. Прасолов. – Санкт-Петербург: Лань, 2008. – 349 с.
33. Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в моделировании экономических процессов // Л.А. Редькина. – Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.
34. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование [Электронный ресурс]: учеб. пособие: в 2 ч. / П.М. Симонов. Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Электрон. дан. – Пермь, 2019. – Ч. 1. – 3,45 Мб; 230 с. – Режим доступа: ttp://www.psu.ru/files/docs/science/books/uchebnieposobiya/economiko-matematicheskoe-modelirovanie-simonov-1.pdf
35. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте : Учеб. пособие / В.М. Трояновский. – Москва : Русская деловая литература, 1999. – 234с.
36. Филипов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: учебник / А.Ф. Филипов. – 2-е испр. изд. – Москва : КомКнига, 2007. – 240 с.
37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман; Пер. с англ. И.Х. Сабитова и Ю.В. Егорова; Под ред. В.М. Алексеева. – Москва : Мир, 1970. – 720 с.
38. Чернов В.А. Теория экономического анализа: учебник / В.А. Чернов. – Москва: Проспект, 2017. – 384 с.
39. Цвиркун А.Д. Математическое моделирование управления развитием структур крупномасштабных систем / А.Д. Цвиркун, А.В. Карибский, С.Ю. Яковенко. – Москва : Институт проблем управления, 1985. – 44 с.
40. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. – Москва : Высшая школа, 1994. – 191 с.
41. Щербаков С.М. Экономико-математическое моделирование интернет-приложений: монография / С.М. Щербаков – Ростов-на-Дону : Ростовский гос. экономический ун-т (РИНХ), 2010. – 165 с.
42. Ярославцев А. М. Математическое моделирование и прогнозирование при проведении экологического проектирования и ОВОС / А.М. Ярославцев, Ю. Л. Мешалкина, И.И. Васенев. – Москва : Сам Полиграфист, 2015. – 115 с.
Самым мощным и широко используемым средством математического описания реальных процессов являются дифференциальные уравнения.
«Данный аппарат уравнений применяется для систем, которые характеризуются наличием более, чем нескольких десятков эндогенных переменных с сотнями обратных связей. Некоторые из этих замкнутых цепочек со временем становятся аддитивными, что делает результаты прогнозирования методами линейной регрессии, не учитывающей данные переменные, неэффективным, особенно в долгосрочной перспективе» [27].
«Конечно, можно описать динамику движений фондов предприятия через методы математической статистики. Но как долго данный способ будет прогнозировать корректное развитие фондов, если нужно будет учитывать не только прямые инвестиции, но и реинвестиции, которые будут влиять на прибыль, зависеть от доходов на следующий период? В определенный момент в расчеты закрадется ошибка» [24].
Немаловажное достоинство дифференциальных уравнений также в том, что они позволяют построить простой и понятный график зависимости, который даст возможность контролировать достоверность результатов.