Элементы интегрального исчисления в школьном курсе математики
Введение
Актуальность. Определённый интеграл представляет собой фундаментальное понятие математического анализа, служащее мощным инструментом исследования в математике, физике, механике и других научных дисциплинах.
Историческое становление концепции интеграла неразрывно связано с проблемами квадратур. Задачи о квадратуре плоских фигур, под которыми математики Древней Греции и Рима понимали вычисление площадей, стали предтечей интегрального исчисления.
Появившись благодаря практической необходимости обратного перехода от известных производных к самим функциям (например, выявление траектории передвижения объекта по данным о его мгновенной скорости) наряду с решением задач по измерению площадей, объёмов, криволинейных расстояний, расчёту затрат механической энергии за установленный временной диапазон и прочих физических величин, математика выработала концепцию неопределённых и определённых интегралов, задача вычисления которых стала центральной проблемой интегрального исчисления. Одна из дискуссионных тем школьной учебной программы — раздел «Определённый интеграл». Данный материал оказался включен в школьную программу в ходе реформы математического образования конца 1960-х — начала 1970-х гг., предусматривавшей введение элементов математического анализа. Ведущие
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………….………………….................3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ……………8
1.1. Понятие определенного интеграла …………………………………....8
1.2. Геометрический смысл определенного интеграла……………………9
1.3. Основные свойства определенного интеграла…………………….....10
1.4. Формула Ньютона–Лейбница………………………………………....11
1.5. Способы вычисления определенного интеграла……………………..12
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………18
2.1 Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа……………...18
2.2 Методические рекомендации по изучению темы «Определенный интеграл»…………………………………………………………………….25
2.3 Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла…………………………………………………...29
ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА….15
3.1. Нахождение площади криволинейной трапеции и площади криволинейного сектора……………………………………………………15
3.2. Нахождение длины дуги кривой……………………………………....16
3.3. Нахождение объема тел………………………………………………...21
3.4. Нахождение площади поверхности тел вращения……………………25
3.5. Нахождение работы переменной силы………………………………...27
Примеры вычисления определенного интеграла……………………….....30
Примеры применения определенного интеграла при решении практических задач……….33
Задания для самостоятельного решения………………………………….40
Заключение……..……………………………………..….……...................47
Литература.……………………………………….……….......…................49
Литература
1. Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н. «Лекции по математическому анализу», 1999.
2. Ахметова, Ф. Х. Введение в анализ. Теория пределов. Часть 3 : методические указания к решению задач по теме «Предел и непрерывность функций» дисциплины «Математический анализ» / Ф. Х. Ахметова, Т. А. Ласковая, И. Н. Пелевина. — Москва : Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, 2014. — 28 c. — ISBN 978-5-7038-3998-0. — Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. — URL: http://www.iprbookshop.ru/30865.html
3. Быкова, О. Н. Практикум по математическому анализу : учебное пособие / О. Н. Быкова, С. Ю. Колягин, Б. Н. Кукушкин. — Москва : Прометей, 2014. — 277 c. — ISBN 978-5-9905-8861-5. — Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. — URL: http://www.iprbookshop.ru/30409.html
4. Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.
5. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи и упражнения по математическому анализу», Часть 1, 1988.
6. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи и упражнения по математическому анализу», Часть 2, 1991.
7. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
8. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
9. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997.
10. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 1, 1997.
11. Зорич В.А. «Математический анализ», Часть 2, 1984.
12. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математи
Без сомнения, интеграл относится к числу центральных понятий современной математической науки. Усвоение этой концепции знаменует финальный этап прохождения школьного курса математического анализа. Изучение интегрального исчисления наделяет учащихся новым инструментом для постижения окружающей действительности, давая возможность глубже проникнуть в тайны мира и освоить базовые принципы, а также практические приёмы использования интегралов. в различных областях деятельности способствует осознанию учащимися всей глубины и эвристической силы математики [35].
Изложение учебного материала для школьников требует организации в дидактически адаптированной и перцептивно доступной форме. Преподавателю, со своей стороны нужно осознавать, какая методологическая концепция изучения интегралов заложена в конкретном учебном пособии, и на этой основе выстраивать образовательную траекторию.
Любопытно отмет