Применение производной при доказательстве неравенств и тождеств
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Исторически понятие производной возникла из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а также тангенс угла наклона касательной кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщенный абстрактный смысл, что еще более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления расширило возможности применения математических методов в естествознании и механике. По словам Фридриха Энгельса «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать не только состояние, но и процессы: движение».
Из самых различных областей науки и техники возникает большое количество практических задач, решение которых связано с понятием производной.
Решение многих задач математики опирается на доказательство тождеств и неравенств. Для их доказательства существуют различные способы. Изучая в школе и в вузе тему «Производная
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ
1.1. Изучение производной в старшей школе
1.2. Понятие производной функции. Геометрический и механический смысл производной
1.3. Правила дифференцирования. Таблица производных
1.4. Дифференциал функций. Производные и дифференциалы высших порядков
1.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
1.6. Методические подходы к бучению производной в старших классах
1.7. Анализ содержания темы в учебниках по алгебре и началам анализа
ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕРАВЕНСТВ И ТОЖДЕСТВ
2.1. Теорема о возрастании и убывании функции.
2.2. Доказательство неравенств, используя формулу Лагранжа
2.3. Вывод бинома Ньютона
2.4. Доказательство функциональных тождеств
2.5. Формула Тейлора
2.6. Доказательство функциональных неравенств
2.7. Доказательство числовых неравенств
2.8. Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с помощью производной»
Заключение
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1.Айвазова И.М., Бекова С.Х., Зайнулабидов М.М., Методические разработки мо математическому анализу, Махачкала, 1997г.
2.Агаханов С.А. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функций на заданном отрезке // Материалы ежегодной научно-практ. конф. – Махачкала: Институт (филиал) МГМУ,2012.-С. 102-105.
3.Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства.– М.: Наука, 1987. – 432 с.
4.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. –13-е изд., испр. – М.: Моск. ун-т, ЧеРо,1997. – 624 с.
5.Колмогоров А.Н.и др. Алгебра и начала анализа 10-11 класс.-17-е изд.-М.: Просвещение, 2008.- 384 c.
6.Лысенко Ф.Ф. под ред. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015. – Книга 2. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2014. –352 с.
7.Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В. Алгебра 9кл. 2006
8.Муравин Г.К. Алгебра
Теоретическая часть сконцентрирована на решении задач, предложенных в начале параграфов. Однако визуальное оформление минимально: иллюстрации практически отсутствуют, а примеры решений приведены кратко, без подробных пояснений. Задачи после теоретического блока однотипны, что ограничивает их вариативность. В приложении содержатся таблицы производных, дублирующиеся на обложке, что удобно для быстрого доступа. Повторные задания в конце учебника помогают закрепить материал, но их структура недостаточно разнообразна.
Анализ пособия Башмакова
Материал разделен на главы и параграфы, каждый из которых начинается с вопросов, проверяющих готовность к изучению новой темы. Вводные и заключительные беседы создают логические переходы между разделами. Теоретическая часть включает алгоритмы решения задач и базовые иллюстрации, однако визуализация могла бы быть более детальной. Практические задания сгруппированы по темам, охватывая механический и геометрический смысл производной, вычисление производных, исследование функций и прикладные аспекты. Сложные задачи отмечены звездочкой, но общий уровень наглядности остается низким.
Структура разделов о производной
-Муравин: Главы 2–3 (пункты 4–11). Каждый блок содержит алгоритмы, иллюстрированные примеры, задания с градацией сложности (от базовых до олимпиадных).
-Башмаков: Глава 2 (§1–3). Упражнения охватывают 12 тематических направлений, включая экстремумы, док