Принцип Дирихле в решении нестандартных задач
Введение
Самая популярная формулировка принципа Дирихле такова «Если в n клетках сидит m зайцев, причем m>n, то хотя бы в одной клетке сидит по крайней мере два зайца». На первый взгляд даже понятно, почему это совершенно очевидное замечание является весьма эффективным методом решения задач. Дело в том, что в каждой конкретной задаче не легко бывает понять, что здесь «зайцы» и «клетки» и почему «зайцев» больше, чем «клеток». Выбор «зайцев» и «клеток» часто неочевиден; далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться принципом Дирихле. А главное, этот метод дает неконструктивное доказательство (мы, естественно, не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть), а попытка дать конструктивное доказательство путем явного построения требуемого объекта, может привести к гораздо большим трудностям.
Содержание
Введение……………………………………………...……………………………3
Глава 1. Теоретические аспекты принципа Дирихле в решении нестандартных задач………………………………………………….…….…….5
§1.1. Формулировка принципа Дирихле………………………..….……...5
§1.2. Принцип Дирихле в теории чисел……..…………………………..11
§1.3. Принцип Дирихле для длин и площадей …….…………….…..…16
§1.4. Непрерывный принцип Дирихле ……………………..………...…20
Глава 2.
§2.1. Конечное число точек, прямых и т.д………….……….…………..22
§2.2. Углы и длины……………..…………………………………………26
§2.3. Площадь…………..…………………………………………...….…31
Литература………………..………………………………………………...……37
1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. “Принцип Дирихле”, Самара “Пифагор”, 1997г.
2. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.
3. Болтянский В. Г. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977, №2
4. Леман А. А. Сборник задач московских математических олимпиад. Под ред. В. Г. Болтянского. М.: Просвещение, 1965.
5. Муштари Д. Х. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.
6. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука, 1991.
7. Фоминых Ю. Ф. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, №3.
Кроме того, существует простая геометрическая интерпретация непрерывного принципа Дирихле: “Пусть из некоторой точки на плоскости проведено N различных лучей; тогда угол между некоторыми двумя из них не менее 360°/N”.
Понятно, что если рассматривать только углы между соседними лучами, то всего получится N углов (См. рисунок). В сумме они составляют полный угол, равный 360. Следовательно, по непрерывному принципу Дирихле градусная мера одного из этих углов не менее 360°/N (иначе их сумма будет меньше 360°). Следовательно, по непрерывному принципу Дирихле градусная мера одного из этих углов не менее 360°/N (иначе их сумма будет меньше 360°).