Решение линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве при помощи неявного метода итераций
ВВЕДЕНИЕ
Встречается большой класс задач, где решения неустойчивы к малым изменениям исходных данных, т.е. сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к классу некорректных задач.
Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. Важен и сам по себе факт не сходимости решения задачи с приближёнными данными к решению задачи с точными данными.
Значительная часть задач, встречающаяся в прикладной математике, физике, технике и управлении, может быть представлена в виде операторного уравнения I-го рода
(1)
с заданным оператором А:XY и элементом у. Адамаром [13, 14] было введено следующее понятие корректности:
Определение 1. Задачу отыскания решения уравнения (1) называют корректной (или корректно поставленной, или коррек
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
1. Основные понятия функционального анализа 8
1.1 Метрические пространства 8
1.2 Линейные нормированные пространства 10
1.3 Линейные операторы 12
1.4 Линейные операторы в гильбертовом пространстве 13
1.5 Понятие корректно и некорректно поставленных задач 16
2. Сходимость в гильбертовом пространстве неявного метода с априорным выбором числа итераций 20
2.1 Постановка задачи 20
2.2 Априорный выбор числа итераций 21
2.3 Случай приближенно заданного оператора в неявном методе решения операторных уравнений 24
3. Сходимость метода в энергетической норме гильбертова пространства при приближённой правой части уравнения 27
4. Сходимость неявного метода итераций в случае неединственного решения уравнения 31
5. Апостериорный выбор числа итераций в неявном методе 33
Заключение 36
Список использованных источников 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Лисковец, О. А. Об одном итеративном методе решения уравнений 1-го рода / О. А. Лисковец, В. Ф. Савчук // В сб.: Вопросы прикладной математики. Иркутск. – 1975. – С. 159–166.
2. Вайникко, Г. М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г. М. Вайникко, А. Ю. Веретенников. – М. : Наука, 1986. – 178 с.
3. Константинова, Я. В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений 1 рода / Я. В.Константинова, О. А. Лисковец // Вестник БГУ им. В.И. Ленина. Сер. 1. – 1973. – № 1. – С. 9–15.
4. Емелин, И. В. К теории некорректных задач / И. В. Емелин, М. А. Крас-носельский // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 244, № 4. – С. 805–808.
5. Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. – М. : Изд-во МГУ, 1974. – 320 с.Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и её приложения /
В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. – М. : Наука, 1978. – 206 с.Лисковец, О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач/ О. А. Лисковец. – Минск : Наука и техника, 1981. – 342 с.
6. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. / М. М. Лаврентьев. – Новосибирск : Изд-во CО АН СССР, 1962. – 92 с.
7. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач/ А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. – 1943. – Т.39, №5. – С. 195–198.
8. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1979. – 288 с.
11.Емелин, И. В. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач / И. В. Емелин, М. А. Красносельский // Автоматика и телемеханика. – 1978. – № 12. – С. 59–63.
12. Савчук, В.Ф. Выбор момента останова в методеитераций решения некорректных задач / В. Ф. Савчук, О. В. Матысик // Вестник Брестского университета. – 1998. – № 2. – С. 9–16.
13. Hadamard, J. Le problem de Cauchy et les equations aux derives partielles line aires hyperboliques /J. Hadamard. – Hermann. Paris, 1932.
14. Hadamard, J. Sur les problemes aux derives partielies et leur signification
physique /J. Hadamard// Bul
Для решения некорректных задач В.К. Иванов в работе [16] излагает метод квазирешений. Большое применение для регуляризации некорректных задач имеет также и метод невязки, предложенный Д.Л. Филлипсом [17] и В.К. Ивановым [16].
Особое место среди методов решения некорректных задач занимают итерационные методы.
Ещё в 30-е годы в работах Т. Карлемана [18], Г.М. Голузина и
В.К. Крылова [19] были предложены первые методы приближений, дающие в пределе точные решения уравнения (1), если данные, т.е. оператор А и правая часть у заданы точно. Для решения задачи Коши для уравнения Лапласа с точными данными итеративный метод изложен в работе Б.А. Андреева [20]. В общем виде итеративный метод сформулирован А.К. Маловичко [21]. Однако в этих работах отсутствует необходимое исследование влияния погрешностей данных, которое весьма важно для решения некорректных задач. В работе [8] М.М. Лаврентьев обосновал сходимость метода последовательных приближений при приближённой правой части линейных уравнений и распространил полученные результаты на случай нелинейных уравнений. При других предположениях метод последовательных приближений был исследован Ю.Т. Антохиным [22]. Изучению итеративных методов посвящены работы В.Н. Страхова [23¬,24]. Различные схемы итерационных методов, предложенные А.С. Апарциным, В.К. Ивановым, А.С. Кряневым,
М.М. Лаврентьевым, В.А. Морозовым, С.М. Оганесяном, Б.Ч. Старостенко, Г.В. Хромовой, применялись для решения многих некорректных задач в гильбертовых пространствах. Для решения некор