Вычисление числа нулей аналитической функций
Введение
Теория функций комплексной переменной является важным инструментом для исследования различных областей математики и имеет множество применений. Она была связана с решением алгебраических уравнений, однако в дальнейшем стала основой для многих методов исследования. В данной работе будут подробно рассмотрены основные понятия теории функций комплексной переменной.Комплексные числа были введены, чтобы расширить область действия алгебраических операций на те случаи, когда результаты не могут быть выражены в действительных числах. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в действительных числах, однако комплексные числа позволяют это сделать. Причина такого ограничения связана с основными алгебраическими операциями на определенном множестве чисел и потребностью расширения математических структур.
Оглавление
Введение
Глава 1. Аналитические и гармонические функции и их свойства
1.Исторические сведенья теории функций комплексной переменной
2.Определение аналитической функции
3.Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
4.Связь аналитических функций с гармоническими
5.Сопряжённые гармонические функции
6.Восстановление аналитической функции по действительной или мнимой части
7.Приложения аналитических функций.
8.Аналитические функции в приложениях
Глава 2. Вычеты и расположение нулей многочлена за комплексной плоскости
1. Принцип аргумента. Утверждение 2.2.
2. Теорема Руше. Утверждение 2.3.
3. Основная теорема алгебры. Утверждение 2.4.
Заключение
Список литературы
Список литературы
Шилов, Г. Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Часть 1 и 2 / Г.Е. Шилов. - Москва: РГГУ, 2014. - 624 c.
Евграфов, М. А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2012. - 472 c.
Мнимые и комплексные числа в математике были использованы с древних времен. Несмотря на то, что их природа не была разгадана на протяжении долгого времени, в настоящее время мы понимаем, что комплексные числа — это числа вида , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, которая определяется как корень из -1.Использование бесконечных множеств натуральных чисел распространенно в мате тематике, физике и инженерных науках. Сначала древнегреческие математики рассматривали натуральные числа как настоящие, однако со временем возникло представление о бесконечности множества натуральных чисел. Дроби из целого числа долей единицы использовались в практических расчетах более двух тысячелетий назад в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. В прошлом результаты измерений выражались только в натуральных числах или их отношениях, то есть дробях. Древнегреческий математик и философ Пифагор учил «что элементы чисел являются элементами всех вещей, а весь мир является гармонией и числом» [16]. Это открытие серьезно подорвало этот взгляд.Доказательство того, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, означает, что не существует рационального числа, которое бы точно соответствовало длине диагонали квадрата со стороной равной единице. Это открытие показывает, что натуральные числа и дроби не могут полностью описать все математические объекты и являются недостаточными для выражения некоторых величин.