Исследование условий разрешимости и обусловленности систем линейных алгебраических уравнений в школьном курсе алгебры
Введение
Вопросы, связанные с численным решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеют длинную историю. Классический метод исключения был открыт К. Гауссом в 1849 г и активно развивается и изучается даже в наши дни. Однако, в Древнем Китае еще за 2000 лет до этого были написаны удивительные по своему глубокому содержанию и точности материала «Девять книг о математическом искусстве», где алгоритм решения СЛАУ уже был изложен в специфичной для того времени форме. Отметим, что этот алгоритм практически основывался на матричных преобразованиях.
Первоначально вычислительная алгебра считалась "наукой о решении уравнений". С начала XX в произошло разделение алгебры на высшую алгебру (операции с абстрактными объектами различной природы) и линейную алгебру, основу которой составляет матричное исчисление.
Необходимо отметить, что существующие проблемы на современном этапе развития алгебры носят фундаментальный характер не только потому, что текущая компьютеризация различ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………...... 3
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИЗУЧЕНИЯ СЛАУ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ……………………………6
1.1 СЛАУ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ………..…….......................................................... 6
1.1.1 МЕТОД КРАМЕРА…………………………………………………….……..………… 6
1.1.2 УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ СЛАУ……………………….……………………….. 10
1.1.3 ОДНОРОДНЫЕ СЛАУ…………………………………………………………………. 13
1.1.4 МЕТОД ГАУССА………………………………………………………………………... 14
1.2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ.………….......................................……. 17
1.2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.………………………………………………..……………. 17
1.2.2 ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ И ПОГРЕШНОСТЬ РЕШЕНИЯ СЛАУ……………..……… 18
1.2.3 ПРИМЕРЫ ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫХ И ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СЛАУ…………………………………………………………………………….………. 20
1.2.4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ НА ПРИМЕРЕ МЕТОДА ГАУССА…………………………………………………..………………..... 21
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ……………………………………………………….. 25
2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.……………………………………………………………… 26
2.1 МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДОВ И ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………………….…………. 26
2.1.1 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………………………………………………………. 26
2.1.2 ЛИНИЯ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………… 29
2.1.3 ОТРАЖЕНИЕ ЛИНИИ СЛАУ В ЛИНЕЙКЕ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ.……….. 33
2.2 АНАЛИЗ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ, СВЯЗАННЫХ С ИССЛЕДОВАНИЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.………..37
2.2.1 ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ВАЖНОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.………………………. 37
2.2.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОНЯТИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СЛАУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.…………...39
ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ………………………………………………………… 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………................. 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…….……………...................... 46
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 2004. 544 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1975 . 632 с.
3. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 2003 - 335 с.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы. (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высшая школа, 2000. 266с.
5. Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 2007. - 248 с.
6. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. М.: Высш. шк., 2009. 184 с.
7. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука,2000 – 177 с.
8. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 2000. 664 с.
9. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 2003. 512 с.
10. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 2004. 264 с.
11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989 – 432 с.
12. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 2004. 190 с.
13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 2006. 320 с.
Подчеркнем, что реализация хорошей или плохой обусловленности в корректной и некорректной задачах напрямую связана с вытекающей отсюда численной устойчивостью или неустойчивостью. При этом для решения некорректных задач обычно применяются специальные методы или математические преобразования этих задач к корректным.
В численном анализе используются два класса численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений:
1. Прямые методы, позволяющие найти решение за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то решение будет точным (прямые методы еще называют точными). На деле при вычислении на ЭВМ прямые методы не приводят к точному решению вследствие погрешностей округления. К прямым методам относятся: метод Гаусса и его модификации (в том числе метод прогонки), метод LU − разложения и др.
2. Итерационные методы, основанные