Декомпозиция задачи оптимального слежения с быстрыми и медленными переменными
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается задача оптимального слежения по заданной основной траектории при наличии сингулярных возмущений. Для анализа матричных дифференциальных уравнений, возникающих при решении этой задачи, применяется метод декомпозиции, основанный на методе интегральных многообразий быстрых и медленных движений.
Основополагающими в теории сингулярных возмущений явились работы А.Н. Тихонова. Им была доказана теорема о предельном переходе в задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой часть уравнений, в которой часть уравнений содержит малый параметр при производной. Сингулярные возмущения появляются естественным образом в процессе моделирования и исследования объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения.
Интерес к различным задачам, в которых присутствуют сингулярно возмущенные уравнения, обусловлен широкими приложениями в различных областях математики, физики, техники.
СОДЕРЖАНИЕ
1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ МЕДЛЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ.. 5
1.1. Интегральные многообразие медленных движений. 5
1.1.1. Приведение системы к специальному виду. 9
1.1.2. Операторное уравнение для интегрального многообразия. 11
1.1.3. Интегральные неpавенства. 13
1.1.4. Оценки фундаментальных матриц. 15
1.1.5. Вспомогательные неравенства. 19
1.1.6. Существование интегрального многообразия. 20
1.1.7. Асимптотическое разложение интегрально го многообразия. 22
1.2. Интегральное многообразие быстрых движений. 24
1.3. Расщепляющее преобразование. 33
2. РАСЩЕПЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.. 35
2.2 Линейные стационарные системы.. 41
2.4 Расщепление начальных и краевых задач. 44
3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.. 50
3.1 Декомпозиция матричных дифференциальных уравнений Риккати. 50
3.1.1 Сингулярно возмущенные системы.. 51
3.1.2 Система с быстрыми и медленными переменными. 55
4. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО СЛЕЖЕНИЯ.. 63
4.2. Оценка погрешности функционала. 66
4.3. Декомпозиция системы матричных дифференциальных уравнений Риккати 69
4.4. Декомпозиция линейной дифференциальной системы уравнения. 70
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 76
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. «Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления» //Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер.: Мат. анализ. 1982. Т. 20. С. 3–77..
Дмитриев М.Г., Курина Г.А. «Сингулярные возмущения в задачах управления» // Автоматика и телемеханика, 2006. № 1. С. 3–51. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15569476.
Naidu D.S. Singular Perturbations and Time Scales in Control Theory and Applications: An Overview. //Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series B: Applications & Algorithms. 2002. Vol. 9. Issue 2. Pp. 233–278.
https://www.d.umn.edu/ dsnaidu/Naidu_Survey_DCDISJournal_2002.pdf.
R. E. O’Malley , Jr., “Singular perturbations and optimal control”, Lecture Notes Math., vol. 680, pp. 171–218, 1978.
E. Shchepakina, V. Sobolev, and M. P. Mortell, Singular Perturbations: Introduction to System Order Reduction Methods with Applications, Springer Lecture Notes in Math., Vol. 2114; Springer: Cham, Switzer- land, 2014.
V. A. Sobolev, “Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems,” Syst. Control Lett., vol. 5, pp. 169–179, December 1984.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. – М.: Наука, 1973.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – М.: Высшая школа, 1990.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. – М.: Изд-во МГУ, 1978.
Васильева А. Б., Тупчиев В. А. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с малым пара- метром при производных, близких к разрывным // Докл. АН СССР. – 1968. – Т. 178, № 4. – С. 767–770.
Видилина О. В. Понижение порядка задачи оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями // Известия РАЕН сер. МММИУ. – 1999. – Т. 3, № 2. – С. 117-127.
Следует заметить, что полученная формула (18) не связана с конкретным выбором приближений и может применяться для оценки погрешности при применении как асимптотических, так и численных методов приближенного анализа.
Если, например, рассмотреть случай регулярной зависимости матричных и векторных функций, входящих в (4.1), (4.2) и (4.3) от малого параметра, в предположении, что эти функции определенное число раз дифференцируемы по своим аргументам, то можно применить эту формулу для оценки погрешности функционала при применении простейшего варианта метода малого параметра. При этом проявляется некоторое отличие от задач оптимального управления, связанное с зависимостью погрешности от .