Применение неравенств о средних значениях в задачах на уроках математики
ВВЕДЕНИЕ
Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. По словам Э. Беккенбаха, «…основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами» [20]. Неравенства встречаются как в классических разделах математики (в геометрии, в дифференциальном и интегральном исчислении, в теории чисел), так и в достаточно современных её разделах (теория автоматов, теория кодирования). Количество новинок среди неравенств увеличивается необычайно быстро.Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (оттуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений. Средняя урожайность, средняя плотность населения, средняя температура, средняя рождаемость, средняя глубина реки, – это примеры средних величин, постоянно окружающих нас.В работе мы будем разбираться лишь в некоторой маленькой части этой обширной разновидности алгебраических неравенств, а именно со средними значениями чисел и неравенствами, связывающими их.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
1 Определения средних величин
2 Другие средние величины в математике
3 Свойства неравенств о средних для двух чисел
4 Метод Штурма
5 Неравенство Коши
6 Доказательство неравенства для среднего арифметического и среднего квадратичного
7 Геометрическая иллюстрация неравенств о средних
8 Неравенства о средних в алгебраических задачах
8.1 Задачи на сравнение чисел
8.2 Задачи на доказательство неравенств
8.3 Решение неравенств
8.4 Применения неравенств о средних к исследованию функций.
9 Неравенства о средних в геометрии
ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА МЕТОДИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
1 Средние величины в школьных учебниках математики
2 Разработка части программы олимпиадного кружка
3 Разработка планов занятий
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Список литературы
Федеральные Государственные образовательные стандарты (ФГОС) 2 поколение. Концепция федеральных Государственных образовательных стандартов общего образования. М.: 2019.
ФГОС, 2 поколение. Примерные программы общего образования. Математика (10-11 классы).
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; - 12-е М.: Мнемозина, 2010.
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 8-9 кл. общеобразовательных учреждений / [Ш. А. Алимов и др.]. - М: Просвещение, 2007.
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. средней школы/ А. Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 1990.
Алгебра и начала анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Мнемозина, 2004.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. / Л.И.Звавич и др. М.2002.
Беккенбах Р., Беллман Э. Неравенства. М., Мир,1965. - 267с.
Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О. Бугаенко.| 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО. 2008. 96 с.
Блинков А. Д. Классические средние в арифметике и геометрии. – 2-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013. – 168 с.: ил.
Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике. М., 2006.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001. — 568 с.
Моденов В. П. Математика: Пособие для поступающих в вузы. – М.: ООО» Издательство Новая Волна», 2002.
Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1962.
Пособие по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ Кутасов А. Д. и др. – М.: Наука, 1988.
Седракян Н. М., Авоян А. М. Неравенства. Методы доказательств. /перевод с армянского Г. В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2002. – 256 с.
Школьный курс математики знакомит учащихся с некоторыми классическими средними величинами, например, уже в пятом классе (см. учебники математики авторов Н.Я. Виленкина и И.И. Зубарева [21, 22]) — с понятием среднего арифметического нескольких положительных чисел (средняя температура, средний балл аттестата, средняя заработная плата). Учащиеся, работающие по учебнику 6 класса Г.В. Дорофеева [23], знакомятся с данным понятием в шестом классе. Здесь же при рассмотрении задачи о нахождении средней скорости при неравномерном движении учитель имеет возможность познакомить учащихся с понятием среднего гармонического нескольких чисел, так, например, в учебнике 9 класса Г.В. Дорофеева [31] такая возможность реализуется. Данное понятие может быть использовано и в задачах на «нахождение производительности».При рассмотрении свойств высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, учащиеся работают с понятием среднего геометрического (среднего пропорционального) длин проекций катетов. Позже, изучая понятие средней линии трапеции, школьники записывают её как среднее арифметическое длин оснований трапеции. Учащиеся, работающие по учебникам геометрии 7-9 классов, авторами которых являются Л.С. Атанасян, И.Ф. Шарыгин, А.В. Погорелов [24-26], могут познакомиться с геометрической интерпретацией на трапеции и других средних величин, а именно: среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного и длин оснований трапеции.