Изучение кривых второго порядка в школьном и вузовском курсах математики
ВведениеПонятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии.
Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой.
Линии второго порядка возникли как сечения конических поверхностей плоскостью и имеют особенно большое значение в науке и технике.
Одним из первых, кто начал изучать конические сечения был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV и. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?».
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Кривые второго порядка 6
1.1. История происхождения линий второго порядка 6
1.2. Классификация линий второго порядка на плоскости 8
1.3. Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии 24
1.4. Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике 30
Глава 2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном и вузовском курсе 44
2.1. Анализ содержания темы «Линии второго порядка» в школьных учебниках. 44
2.2. Особенности изучения линий второго порядка в школьных курсах математики, алгебры и геометрии 50
2.3. Анализ содержания учебников вузовского курса математики. 63
2.4. Особенности изучения кривых второго порядка в вузе. 67
Глава 3. Разработка элективного курса «Кривые второго порядка в школьном курсе геометрии» 77
Заключение 80
Список используемой литературы 82
Приложение 1 84
Приложение 2 86
Приложение 3 89
Приложение 4 95
Список используемой литературыАлгебра 7 класс - Дорофеев Г.В. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/15432-algebra-7-klass-dorofeev-gv-suvorova-sb-bunimovich-ea-i-dr.html (дата обращения 24.01.2023).
Алгебра. 7 класс. Учебник - Мордкович А.Г. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/65-algebra-7-klass-uchebnik-mordkovich-ag.html (дата обращения 24.01.2023).
Алгебра. 8 класс - Мордкович А.Г. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/13956-algebra-8-klass-mordkovich-ag.html (дата обращения 24.01.2023).
Алгебра. 8 класс. Учебник - Дорофеев Г.В. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/1372-algebra-8-klass-uchebnik-dorofeev-gv-suvorova-sb-bunimovich-ea-i-dr.html (дата обращения 24.01.2023).
Алгебра. 9 класс. Учебник - Дорофеев Г.В. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/9602-algebra-9-klass-uchebnik-dorofeev-gv-i-dr.html (дата обращения 24.01.2023).
Алгебра. 9 класс. Учебник и Задачник. Мордкович А.Г. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/72-algebra-9-klass-uchebnik-mordkovich-ag-nikolaev-np.html (дата обращения 24.01.2023).
Анатасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2 - х ч. учеб.пособие для студентов /Л. С. Анатасян,В. Т. Базылев.- М.: Просвещение, 1986 - 336с.
Геометрия. 7-9 класс. Учебник - Атанасян Л.С. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/15957-geometrija-7-9-klass-uchebnik-atanasjan-ls-butuzov-vf-kadomcev-sb-i-dr.html (дата обращения 24.01.2023).
Геометрия. Учебник для 10-11классов - Атанасян Л.С. [Электронный ресурс] URL: https://pdf.11klasov.net/19-geometriya-uchebnik-dlya-10-11klassov-atanasyan-ls-i-dr.html (дата обращения 03.02.2023)
Гуревич В.Б., Минорский В.П. учебник по «Аналитической геометрии» [Электронный ресурс].
Классификация линий второго порядка [Электронный ресурс] URL: https://helpiks.org/6-63943.html (дата обращения 03.02.2023).
x2a2-y2b2=1 - верное равенство. Следовательно, M1 принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.
Точка M2(-x0,y0) симметрична точке M0 относительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.
Точка M3(-x0,-y0) симметрична точке M0 относительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат.
3) Асимптоты гиперболы:
Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения:
y=bax и y=-bax.
Пусть текущая точка гиперболы, M1- ее проекция на ось абсцисс. Прямая MM1 пересекает прямую l, заданную указанным уравнением в точке M’. Докажем: что MM'→0 при x→∞.