Методы решения линейных и квадратных уравнений и их систем с параметрами
Задачи с параметром играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение
вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и глубоко рассматривается в основном на факультативных занятиях.
Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении.
Актуальность выбранной темы состоит в том, что в последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются в заданиях ЕГЭ. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ………………….5
§1. Понятие параметра…………………………………………………………5
§2. Линейные уравнения параметрами………………………………………..7
ГЛАВА 2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ…………………………………...…9
§1. Взаимное расположение корней квадратного трёхчлена………………...9
§2. Квадратные уравнения с параметрами………………………………..….31
§3. Уравнения сводящиеся к квадратным……………………………..……. 37
ГЛАВА 3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ…………..………41
§1. Основные понятия СУ…………………………………………….……...41
§2. Методы решения СУ……………………………………….……………43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………….………...53
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………...…....54
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.
2. Ткачук В. В. Математика – абитуриенту/ Все о вступительных экзаменах в ВУЗы – М.: МЦНМО, 2004.
3. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.
4. Прокофьев А. А. Задачи с параметрами / Пособие по математике для
учащихся старших классов– М.: МИЭТ, 2004.
5. Кривчикова Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса / Э. Кривчикова // Математика. – 2004. №37.-с. 18-37.
6. Шабунин М.И., Уравнения и системы уравнений с параметрами / Математика в школе. –2003. №7. -с. 10-14.
7. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра – М.: Наука 1987 г.
К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра. Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:
1) получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.
Основные способы (методы) для решения задач с параметром:
Способ 1 (аналитический). Это так называемое прямое решение, повторяющее стандартное нахождение ответа в задачах без параметра. Специалисты считают аналитический способ решения задач с параметром самым трудным способом, где необходима высокая грамотность и наибольшие усилия по овладению им.