Некоторые приложения сплайн-интерполяции
ВВЕДЕНИЕ
Сплайны имеют многочисленные приложения, как в математической теории, так и в прикладной математике. В реальном мире сплайн–интерполяция является мощным инструментом для аппроксимации функций и может быть полезна в различных областях, таких как физика, математика, экономика. Сплайны не просто выдуманная математическая абстракция, во многих случаях он является решением дифференциальных уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы.
Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными. Сплайн-интерполяция – это новая быстро развивающаяся область теории численного анализа, которая позволяет аппроксимировать функцию на заданном интервале с помощью полиномов низкой степени. Получив распространение в 60х годах, главным образом как средство интерполяции сложных кривых, сплайны в дальнейшем стал широко применяться в различных областях, та
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1. Теоретические основы сплайн интерполяции. 5
1.1. Кусочно-полиномиальная аппроксимация. 5
1.2. Интерполяционный квадратичный сплайн дефекта 1 8
1.3. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1 14
2. Приложения сплайн – интерполяции 20
2.1. Задача о концентрации вещества в крови пациента (медицина) 21
2.2. Задача о безработице (статистика) 28
2.3. Задача о динамике курса доллара к рублю (экономика) 37
Заключение 47
Список литературы 48
Список литературы
Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – Москва: Наука, 1987. – 600 с.
Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. – Москва: Наука, 1973. – 632 с.
Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование. / Ю.П. Боглаев. – Москва: Высшая школа, 1990. – 544 с.
Вержбицкий, В.М. Основы численных методов. / Ю.П Вержбицкий. – Москва: Высшая школа, 2002. – 840 с.
Дж., Алберг Теория сплайнов и ее приложения / Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. – Москва: Мир, 1972. – 319 с.
Завыркин, В.М. Численные методы / В.М. Завыркин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – Москва: Просвещение, 1990. – 176 с.
Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.П. Мирошниченко. – Москва: Наука, 1980. – 352 с.
Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. – Москва: Машиностроение, 1985. – 224 с.
Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. – Москва: Мир, 1998. – 575 с.
Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближений / Н.П. Корнейчук. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. – Москва : Наука, 1976. – 248 с.
Методом сплайн-интерполяции построить сплайн (квадратичный, квадратичный дефекта 1, кубический) изменения курса доллара. Оценить динамику изменения стоимости доллара на протяжении 11 лет.
Решение. В таблице даны значения функции. Х –год, Y–стоимость доллара в рублях. Требуется построить кусочно-квадратичный сплайн, квадратичный сплайн дефекта 1, кубический сплайн дефекта 1интерполирующий заданную функцию на заданном отрезке.
Для удобства обработки данных, произведём замену года на соответствующее ему числовое