Численное решение задачи Дирихле для круга
ВВЕДЕНИЕ
В данной дипломной работе исследованы некоторые виды задач Дирихле для круга.
Актуальность темы - значимость и недостаточная практическая разрабо-танность проблемы «Численное решение задачи Дирихле для круга» определяют несомненную новизну данного исследования.
Характеристика проблемы - исследование численного решения задачи Дирихле для круга является комплексным, включающим несколько взаимосвязанных дисциплин. Современная наука ориентирована на глобальное изучение данной тематики, что подтверждается множеством работ по этому вопросу. Однако, в учебной литературе в основном приводится общий материал.
Цель работы – разработка эффективного численного метода решения за-дачи Дирихле для круга.
Объект и предмет исследования – задача Дирихле для круга (формули-ровки принципа Дирихле и их применение
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 8
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И ПОНЯТИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 10
1.1 Построение сетки и введение сеточных функций. 11
1.2 Построение разностной схемы. 12
1.3 Вычисление решения разностной схемы с помощью метода прогонки. 13
1.4 Существование и единственность решения. 16
1.5 Априорная оценка решения. 16
1.6 Устойчивость. 18
1.7 Аппроксимация. 19
1.8 Сходимость. 20
1.9 Оценка погрешности по правилу Рунге. 21
1.10 Метод контрольных объемов на неструктурированной сетке 24
1.11 Неструктурированная сетка и сеточные генераторы 24
1.12 Численные методы решения 25
ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 1 28
ГЛАВА 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА. 29
2.1 Задача Дирихле для круга. 29
2.2 Решение задачи Дирихле для круга для уравнения Лапласа 34
2.3 Решение внутренней задачи Дирихле для круга методом Фурье. Формула Пуассона 49
ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 2 52
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 58
ПРИЛОЖЕНИЕ А 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Абдурагимов, Г. Э. О существовании и единственности положи-тельного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка [Текст]: учеб. пособие / А. Г. Абдурагимов. – Вестник российских университетов. Математика. 2022. № 138 – 129 с.
2. Аблабеков, Б. С. О разрешимости второй начально-краевой задачи для одномерного псевдопараболического уравнения с дробными производными [Текст]: учеб. пособие / Б. С. Аблабеков, Жуманкызы. – Молодой ученый. 2022. № 18 (413) – 5 с.
3. Аттаев, А.Х. Об одной нелокальной краевой задаче для модельного нелокального уравнения гиперболического типа [Текст]: учеб. пособие / А. Х. Аттаев. – Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2022. № 3 – 7 с.
4. Бальзанникова, М. И. Однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения смешанного типа [Текст]: учеб. пособие/ М. И. Бальзанникова, Т. В. Шувалова, И. П. Егорова. – Самара. 2016. –10 с.
5. Барух, Ш. А. Задачи типа Дирихле высокого порядка в двумерном комплексном кватернионном анализе [Текст]: учеб. пособие/ Ш. А. Барух. – СПб: Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. 2019. –37 с.
6. Беликова, Г. И. Численные методы [Текст]: учеб. пособие/ / Г. И. Беликова, Е. А. Бровкина, Б. Г. Вагер. – СПб.: РГГМУ. 2019. – 174 с.
7. Бравый, Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи и за-дачи Дирихле для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка [Текст]: учеб. пособие / Е.И. Бравый. – Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. № 5 – 1086 с .
8. Варухина, Л. В. Избранные вопросы теории сумматорных функций рядов Дирихле [Текст]: учеб. пособие / Л. В. Варухина. – Чебышевский сборник. 2019. – 13 с.
9. Гавриков, А. И. О моделировании процессов дифференциальными уравнениями [Текст]: учеб. пособие/ А. И. Гавриков. – Москва: МИЭТ. 2022. – 41 с.
10. Ганиев, В.С. Уравнения эллиптического типа. Задача Дирихле для круга [Текст]: учеб. пособие / В.С. Ганиев. – В сборнике: Традиции и иннова-ции в строительстве и архитектуре. Самарский государственный архитектурно-строительный университет. 2013. – 154 с.
11. Гафурова, Б.А. Об одном способе элементов дифференциальных уравнений [Текст]: учеб. пособие / Б. А. Гафурова. – Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика. Гуманитарные науки. 2019. –54 с.
12. Громаковская, Л. А. Формула обращения для рядов Дирихле и ее применение [Текст]: учеб. пособие/ Л
1.10 Метод контрольных объемов на неструктурированной сеткеСложные геометрические объекты, используемые при решении инженерных задач по расчёту установок и физических процессов, часто невозможно описать конечноразностной сеткой. Следовательно, потребность в использовании сложных геометрических объектов становится просто необходимостью. Неструктурированные сетки, включающие в себя треугольники и четырехугольники, и другие виды фигур, будут основополагающим для решения задач во многих областях.
Для достижения успеха в решении уравнений, связанных с частными производными, на неструктурированных сетках необходимы аппроксимации, которые будут настолько отличны от