Численные методы решения краевых задач
ВВЕДЕНИЕ
В области дифференциальных уравнений, краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями. Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века, под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница, термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.
Ещё древний философ Пифагор утверждал, что всё в нашем мире можно описать математическим языком. И то, что мы изучаем решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка, делает нас ближе к пониманию устройства протекающих вокруг нас процессов в мире, поэтому изучение численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений является актуальной темой исследования.
В связи с актуальностью данной темы целью работы является изучение численных методов решения краевых задач для дифференц
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1.КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО 5
1.1. Постановка краевой задачи 5
1.2. Численные методы решения краевой задачи 7
1.2.1. Метод прогонки 7
1.2.2. Метод Рунге – Кутта 10
1.2.3. Метод стрельбы 12
1.2.4. Метод Бубнова – Галеркина 13
1.2.5. Метод редукции 15
2. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В EXCEL И PYTHON 17
2.1. Метод прогонки 17
2.2. Метод Рунге – Кутта 24
2.3. Метод стрельбы 31
2.4. Метод Бубнова – Галеркина 42
2.5. Метод редукции 48
2.7. Задания для самостоятельной работы 54
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 59
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. 3237 - Стр 16 : сайт. – URL: https://studfile.net/preview/16728837/page:16/ (дата обращения: 06.06.2023)
2. Агафонов С. А. Дифференциальные уравнения. Математика в техническом университете. Выпуск 8. / С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова. – Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 348 с.
3. Арушанян О. Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. / О. Б. Арушанян, С. Ф. Залеткин. – Москва : Изд-во МГУ, 1990. – 336 с.
4. Блюмин А. Г. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». / А. Г. Блюмин, А. А. Федотов, П. В. Храпов. – Москва : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. – 74 с.
5. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование / Ю. П. Боглаев. – Москва : Высшая школа, 1990. – 534 с.
6. Буйначев С. К. Основы программирования на языке Python : учебное пособие. / С. К. Буйначев, Н. Ю. Боклаг. – Екатеринбург : Изд-во Урал, 2014. – 91 с.
7. Волков Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. – Москва : Наука, 1987. – 248 с.
8. Гэддис, Т. Начинаем программировать на Python. – 4-е изд.: Пер. с англ. / Т. Гэддис. – Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2019. – 768 с.
9. Демидович Б. П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. – Москва : Наука, 1967. – 368 с.
10. Джон Пол Мюллер. Python для чайников. – 2-е изд. / Джон Пол Мюллер. – Москва : Издательство «Диалектика», 2019. – 418 с.
11. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, 2-е изд., испр. / А. И. Егоров – Москва : Физматлит, 2005. – 384 с.
12. Ельцов А. А. Диффере
Краевой задачей называется задача о нахождении решения данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего граничным условиям на концах заданного интервала. Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным граничным условиям. Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение: у ≡ 0. Приведем общую формулировку краевой задачи.
Пусть на отрезке [a,b] задано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y',y'') = 0, где F – данная функция. Требуется найти его решение у(х), удовлетворяющее условиям третьего рода 〖 α〗_0 у(a)+α_1 y^' (a)= А ,〖 β〗_0 у(b)+β_1 y^' (b)= В для уравнения F(x,y,y',y'') = 0, где α_i, β_i, А,В – некоторые известные числа. Если упростить граничные условия, получим первую и вторую краевые задачи.
Первая краевая задача: пусть на отрезке [a,b] задано дифференциальное уравнение F(x,y,y',y'') = 0, где F – данная функци