Применение неравенств и экстремальных значений функции при решении геометрических задач
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия берет свое начало от древних греков, которые ввели многие из основных понятий и принципов, которые мы используем сегодня. Геометрия развилась из практической необходимости в решении таких задач, как измерение полей для посева, определение расстояния от одной точки до другой и строительство зданий и структур.
При изучении математики в школе необходимо научить школьников применять методы и различные идеи одной математической дисциплины к другой. При решении неравенств в школьном курсе алгебры необходимо проводить параллель с геометрией, для того чтобы у обучающихся было понимание, какими методами можно еще пользоваться при решении геометрических задач.
Применение неравенств в решении задач по геометрии в курсе средней школы играют значительную роль, ее совсем недавно включили в школьный курс. Еще нет достаточного количества разработок для педагогов и школьников, чтобы помочь быстрее освоить данную тему.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ3
Глава 1. Применение неравенств при решении геометрических задач5
§1.1. Неравенство треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника.5
§1.2. Неравенства для средних величин положительных чисел.12
§1.3. Принцип крайнего при решении геометрических задач с неравенствами14
Глава 2. Применение экстремальных значений функции при решении геометрических задач18
§2.1. Экстремальные значения функции19
§2.3. Изопериметрические задачи и их решения21
§2.4. Задачи на кратчайшие пути и их решения24
§2.5. Задачи на максимальные и минимальные углы26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
Aтaнacян Л. C., Базылев B. T. Геометрия. B 2-x ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. Фак пед. ин-тов.—М.: Просвещение, 1986. -336 с.
Александров, А.Д. "Внешняя геометрия выпуклых поверхностей". Наука, 1980.
Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Белл, Дж. "Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery". Cambridge University Press, 1976.
Болтянский, В.Г. "Геометрические неравенства". Наука, 1967.
Бурдак Б.А. Математика. Сборник задач по углубленному курсу: учебно-методическое пособие / Б. А. Бурдак, Н. Д. Золотарева, Ю. А. Попов. – М. : Лаборатория знаний, 2019. – 324 с.
Буркилл, Ф. "Курс геометрии". Мир, 1977.
Бэрроу, Дж. "100 задач по геометрии". МЦНМО, 2000.
Зайцев, В.К., Савватеев, А.В. "Геометрические неравенства в задачах и решениях". МЦНМО, 2016.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Золотарева Н. Д. Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарева, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов. – М. : Лаборатория знаний, 2019. – 544 с.
Колмогоров А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10– 11 классы: учеб. Пособие для общеобразовательных организаций /А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын. — М.: Просвещение, 2018. – 384 с.
Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В. С. Крамор. — М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
Мерзляк А. Г. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень: 10 класс / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский. — М.:Вентана-Граф, 2019. — 368с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекоменда
Решение:
Рис 1.15. Отрезок DyDzКогда говорят доказать, что точек бесконечно много это значит мы допускаем, что их какое-то количество ограничено. Используем принцип крайнего и находим противоречие, что их не может быть ограниченное количество. Их может быть бесконечно много.
Изобразим координатную плоскость.
Рис 1.16. Координатная плоскость
Середина отрезка-это среднее арифметическое концов отрезка
Возьмем максимальное xn, где максимальная координата х и на ней рассмотрим максимальный у.
Пусть P(xn,yn) самая крайняя точка xn>xix≥a,ca+c2=xИз этого следует, что a= c=x Все точки лежат на отрезке (P(xn,yn) до (xn))
Рис 1.17. Отрезок MN
Если P середина M и N, то надо, чтобы они располагались
Рис 1.18. Точка P на прямой MN
Если M ниже, то N выше должна стоять, а выше быть не может!
Пришли к противоречию, а значит точке бесконечно много.
Глава 2. Применение экстремальных значений функции пр