О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами
ВВЕДЕНИЕ
В современном мире решение систем линейных уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач, возникающих при моделировании и анализе различных процессов.
Многие математические задачи сводятся к задачам линейной алгебры. На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.
Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных методов решения задач. Поскольку основная часть таких уравнений являются линейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение. Возникает необходимость использовать численные методы. Названия некоторых из таких методов – методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Зейделя, Чебышева– свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ3
Глава 1. Основы теории численного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)6
1.1 Постановка задачи6
1.2 Обусловленность линейных систем7
1.2.1. Число обусловленности линейной системы.8
1.2.2. Геометрическая интерпретация понятия обусловленности.10
1.2.3. Матрица Гильберта16
2.1 Влияние возмущения матрицы и правой части на точность решения системы уравнений20
Глава 3. Численные методы решения СЛАУ23
3.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем23
3.2 Численная реализация метода регуляризации24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ35
СПИСОК ИЗУЧЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ИЗУЧЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дулов Е.Н. Введение в численные методы: Учебно-методическое пособие для студентов Института физики / Е.Н. Дулов. – Казань: Издательство Казанского федерального университета, 2012. – 62 с.
2. Амосов, А.А. Вычислительные методы: учебное пособие/А.А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. — 4-е изд., стер. — Санкт-Петербург: Лань, 2022. — 672 с.
3. Зенков А.В. Численные методы: учебное пособие/ А. В. Зенков; - Екатеринбург: Изд-во Урал ун-та, 2016. - 124 с.
4. Беловодский В.Н. Восемь лекций по численным методам: Конспект лекций по курсу «Численные методы в информатике» для студентов специальности 7.080407 «Компьютерный эколого-экономический мониторинг») / Беловодский В.Н. – Донецк: ДонНТУ, 2005. - 101 с.
5. Кочегуров А.И., Кочегурова Е.А. Теория и реализация задач вычислительной математики в пакете MathСad: учебное пособие / сост. А. И. Кочегуров, Е.А. Кочегурова; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2013. – 135 с.
6. Цехан, О.Б. Матричный анализ [Текст]: [учебное пособие] / О. Б. Цехан. - Москва: ФОРУМ, 2012. - 355 с.
7. Беклемишев, Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры: учебное пособие / Д. В. Беклемишев. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2008. - 490 с.
8. Агапова, Е. Г. 233 Вычислительная математика: учеб. пособие / Е. Г. Агапова; [науч. ред. Т. М. Попова]. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2017. - 92 с.
9. Срочка, В. А. Численные методы: Курс лекций. / Срочка, В. А. – Иркутск: Иркут. ун-т, 2003. – 168с.
10. Куксенко С.П., Газизов Т.Р. Итерационные методы решения системы линеных алгебраических уравнений с плотной матрицей. / Куксенко С.П., Газизов Т.Р. – Томск: Томский государственный университет, 2007. – 208с.
11. Андрушевский Н.М. Анализ устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений: Учебное пособие. / Андрушевский Н.М. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова
Как видно, система (17) является «плохо обусловленной», так как малые изменения, внесенные в коэффициенты матрицы, повлекли за собой большие изменения в решении системы. Число обусловленности почти изменилось.
Точное решения данных систем оказываются очень далекими друг от друга. Кроме того, для систем двух уравнений точное решение получить легко, однако при решении СЛАУ большой размерности даже незначительные ошибки округления, накапливаемые при расчетах, приводят к огромным погрешностям результата.
Решения систем показывается точкой пересечения двух прямых линий, изображающих каждое их уравнений. Из (рис. 3 и 4) видно, что прямые, соответствующие плохо обусловленной СЛАУ, располагаются в непосредственной близости друг от друга. В связи с этим, малые ошибки в расположении каждой из прямых могут привести к значительным погрешностям локализации точки их пересечения в противоположность случаю хорошо обусловленной системы, когда малые погрешности