Вычислительные задачи, связанные с осевыми диаметрами симплекса
Введение
Данная работа базируется на многочленах Лагранжа, описанных в ([6] стр. 7-9). С их помощью находятся различные характеристики осевых диа- метров симплекса.
План работы выглядит следующим образом. В первом разделе приводятся основные определения и теоремы из ([6] стр.9-17, [7] стр.31-32). Во втором разделе описаны примеры и иллюстрации для n = 2 и n = 3, рассчитанные вручную. В тре- тьем разделе представлено описание программ, что конкретно выполняет каждая функция и на какую формулу опираются вычисления. В четвертом разделе при- водятся примеры работы программы на различных тестах. Код написан на языке C++, с использованием OpenGL для отрисовки. Для построения проекций симплекса на соответсвующие гиперплоскости использован язык программирования C#, на нем написана вторая программа.
В данной работе ставятся следующие задачи:
вычислить координаты середин и концов отрезков максимальной длины, впи- санных в симплекс и параллельных осям координат;
определить осевые д
Содержание
Введение4
Характеристики n-мерного симплекса5
Основные обозначения5
Базисные многочлены Лагранжа5
Свойства осевых диаметров симплекса6
Максимальный в симплексе отрезок данного направления7
Максимальная гомотетическая копия куба [0, 1]n,
содержащаяся в симплексе8
Величины α(C; S) и α(S)8
Примеры и иллюстрации10
Вычисления для n = 210
Вычисления для n = 314
Описание программы19
Результаты счета21
Результаты счета для n = 221
Результаты счета для n = 328
Заключение35
Список литературы36
Приложения37
Приложение А37
Приложение Б57
Список литературы
Попова А. А. Вычислительные задачи, связанные с осевыми диаметрами симплекса
// Путь в науку, материалы молодежной конференции. Ярославль: ЯрГУ им. П. Г. Демидова (в печати)
Баяковский Ю., Игнатьенко А., Фролов А. Графическая библиотека OpenGL: мето- дическое пособие //Лаборатория компьютерной графики при ВМиК МГУ:
url https://www.rsdn.org/article/opengl/ogltut2.xml
Кострикин А. И. Введение в алгебру.Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов.
— 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.
Невский М. В. Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления
// Фундамент. и прикладная математика. 2013. Т. 18, вып. 2. С. 147–152. (Англ. пере- вод: Nevskii M. V. Computation of the longest segment of a given direction in a simplex
// Journal of Math. Sciences. 2014. V. 203, № 6. Р. 851–854.)
Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580–593. (Английский перевод: Nevskii M. V. On a property of n-dimensional simplices // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543–555.)
Невский М. В., Ухалов А. Ю. Избранные задачи анализа и вычислительной геомет- рии. Часть I : учебное пособие / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2020. – 98 с.
Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции. / Яpосл. гос. ун-т им.П. Г. Демидова. Яpославль: ЯрГУ, 2012. – 218 с.
Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971 – 96 c.
Scott P. R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359–362.
Scott P. R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. V. 39. P. 329–333.
Приложение А
Программа для вычисления характеристик n-мерного симплекса и изображения некоторых из них
#include<iostream> #include<string> #include<math.h> #include<fstream> #include<vector> #include"glut.h"
using namespace std; ifstre
Вершины нового симплекса: (1; 1; 5), (−1, 5; −1; 0), (1; −1, 5; 0), (1; 1; 0).
Рис. 2: Иллюстрация вычислений для n = 3
На изображении зеленым цветом представлен заданный тетраэдр; красным – осевые диаметры и отрезок максимальной длины, параллельный заданному вектору; фиолетовым
сам вектор; голубой куб внутри заданного симплекса – максимальная гомотетическая копия куба Qn, вписанная в симплекс; оранжевым – минимальная гомотетическая копия данного симплекса, содержащия единичный куб (изображен голубым цветом).
Описание программы
В работе решаются различные вычислительные задачи, связанные с осевыми диа- метрами, заданного покоординатно симплекса. Также была поставлена цель изобразить все результаты. Для этого реализована программа на языке C++. При написании приложения использовалось пособие [2].
В начале была реализована функция считывания данных из файла и составления матрицы A: MakeMatrix().
Для того, чт