Приближенное вычисление интегралов численными методами
Проблема вычисления интегралов возникает в большом количестве областей прикладной математики. В частности, это интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Так же, во многих определенных интегралах сами функции не являются элементарными.
Распространенными случаями бывают такие, что подынтегральная функция задается каким-то графиком или таблицей, составленной их экспериментально полученных функций. На практике очень редко получается получить точный результат при решении подобных интегралов. Поэтому такие интегралы можно попробовать решить различными методами численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы, и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. К таким методам можно отнести: квадратурная формула Симпсона, квадратурная формула Гаусса, квадратурная формула Чебышева и др.
С появлением достаточно современных ЭВМ скорость и точность таких вычислений выросла. Это связано с тем, что не приходится считать вручную, где можно ошибиться в вычислениях, скорость которых очень мала, а лишь нужно подобрать нужный метод вычисления интеграла в компьютере и подставить туда данные.
Содержание
Введение…………………………………………………………………… 4
§1 Классификация численных методов вычисления интегралов…...…..6
§2 Квадратурные формулы Гаусса, Симпсона, трапеций, Чебышева, прямоугольников, экстраполяция Ричардсона………………………………….8
2.1 Квадратурная формула Гаусса и оценка погрешности ………8
2.2 Квадратурная формула прямоугольников……….………...….10
2.3 Квадратурная формула трапеций………..………………..…...11
2.4 Квадратурная формула Чебышева …………………………….10
2.5 Квадратурная формула Симпсона……………………………..10
§3 Практические задачи и их решения……………….…………….……13
3.1 Условия практических задач…………….……………………..13
3.2 Решение практических задач………………..…..…………….15
Заключение………………………………………………………………..28
Список использованных источников……………………………………29
Приложение 1……………………………………………………………..30
Приложение 2……………………………………………………………..32
Приложение 3……………………………………………………………..34
Приложение 4……………………………………………………………..35
Список использованной литературы
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
2. Бахвалов Н. C. , Жидков В. П. , Кобельков Г. М. Численные методы. М., 1987.
3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М., 1986
Описание работы программы:
Данный код вычисляет значения интегралов функций, используя три различные квадратурные формулы: формулу Симпсона, формулу Чебышева и формулу Гаусса.
Сначала задаются значения интегралов J1 и J2, затем они выводятся на экран вместе с заголовком. Далее следуют вызовы функций Simpson(), Chebishev() и Gauss() для каждого интеграла. Выводятся значения интегралов, вычисленные каждой квадратурной формулой.
Затем вычисляются погрешности для каждой формулы для каждого интеграла. Разница между значением интеграла, вычисленным с помощью квадратурной формулы, и реальным значением интеграла вычисляется с помощью функции Math.abs(). Затем минимальные погрешности выводятся на экран вместе с заголовком.
Функции Simpson(), Chebishev() и Gauss() вычисляют значения интегралов функций, используя соответствующие квадратурные формулы.