Применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений
Введение
Способ подмены исследуемой функции f(x) определенными ее преобразованиями приобрел обширное распространение в математике и ее приложениях. Эти методы благополучно использовались для решения дифференциальных и интегральных уравнений, для изучения особенных функций и для вычисления интегралов. Значимым преимуществом метода интегральных преобразований приходит случай составления таблиц прямых и обратных преобразований разнообразных функций, зачастую встречающихся в приложениях.
Существуют различные разновидности главных преобразований: Фурье, Лапласа, Ганкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и некоторые другие. Главным элементом, отличающим одно преобразование от другого, является ядро. Обычно ядро избирают так, для преобразования владела определенными свойствами. Характеристики интегрирования еще зависят от типа преобразования. Если a и b являются окончательными значениями, преобразование называется окончательным полным преобразованием. Впрочем, характеристики комплектного т
Содержание
Введение…………………………………………………………………. 3
Глава 1. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа..............5
1.1. Понятие метода интегральных преобразований…………………. 5
1.2. Преобразование Фурье и его свойства……………………………. 8
1.2.1. Основные понятия интеграла Фурье……………………………. 8
1.2.2. Действительная и комплексная формы интеграла Фурье……... 11
1.2.3 Основные свойства преобразования Фурье……………………... 16
1. 3. Преобразование Лапласа………………………………………….. 18
1.3.1. Основные понятия преобразования Лапласа…………………… 18
1.3.2. Основные свойства преобразования Лапласа………………….. 21
1.3.3 Обратное преобразование Лапласа……………………………… 23
1.4. Некоторые другие интегральные преобразования ………………. 26
1.4.1. Преобразование Меллина ……………………………………….. 26
1.4.2. Преобразование Гильберта ……………………………………… 28
Глава 2. Применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений....30
2.1. Применение преобразования Фурье к решению интегральных уравнений …………………… 30
2.2. Задачи ………………………………………… 32
Заключение……………………………………………………………… 34
Список литературы……………………………………………………... 37
Список литературы.
1. Крылов В.И. Методы приближенного решения интегральных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.
2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые особенности применения метода трансформации Фурье к решению интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.
3. Левин Б.Я. Теория аппроксимации функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1956.
4. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Том 1: Основы теории. М.: Физматгиз, 1958.
5. Муравьев В.Н. Применение метода Галеркина к решению интегральных уравнений. М.: Наука, 1980.
6. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.
7. Акопян А.А., Бабаян А.А., Григорян А.С. Методы приближенного решения интегральных уравнений и задач математической физики. Ер.: Изд-во ЕГУ, 2002.
8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1989.
9. Хасанов Р.М. Решение интегральных уравнений методом Галеркина с использованием сплайнов. М.: Изд-во МГУ, 1994.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
Непрямое преображение не всегда необходимо.
Для каждого типа задач особым образом может быть сооружен целый тип преобразования, его ядра, его параметры интегрирования.
Общая теория основательных преобразований. Рассмотрим более основательно главные преобразования Фурье и Лапласа.
1.2. Преобразование Лапласа
Ключевые определения преобразования Лапласа
Функцией – оригиналом именуется любая комплексно значная функция реального довода t, удовлетворяющая условиям:
1) f(t) интегрируема на всяком окончательном промежутке оси t;
2) для всех отри