Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
ВВЕДЕНИЕ
Исследуя различные стационарные физические процессы, нередко приходят к задачам для уравнений математической физики эллиптического типа. Самое распространенное уравнение такого типа - уравнение Лапласа. Благодаря исследованию эллиптических уравнений была создана сильная математическая база, которая упрощает решение большинства задач математической физики. Уравнение Лапласа довольно простое в записи, но, не смотря на это, нахождение частных решений является достаточно трудным, из-за того, что существуют некоторые особые точки. Иногда есть возможность обойти эти особые точки, если находить приближенное решение. В этом и состоит актуальность решения краевых задач уравнения Лапласа в современной математике. Такие задачи широко распространены в прикладных областях физики и техники.
Лаплас разработал методы решения для задач математической физики, которые в современном мире часто используются.
Задача Дирихле – это вид задач, который нужен для того, чтобы решить дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Эта задача получила название в честь немецкого математика Петера Густава Дирихле.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР 5
1.1. Уравнение линейной теплопроводности 5
1.2. Уравнения Лапласа и Пуассона 6
1.3. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле 7
1.4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа 8
1.4.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге 11
1.4.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга 14
1.4.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце 15
Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
ЛИТЕРАТУРА 22
ЛИТЕРАТУРА
1. Алиев, А. Ю. Численное решение нелокальной задачи Дирихле для уравнения Лапласа / А. Ю. Алиев // Вiсник Вiнницького полiтехнiчного iнституту. – 2013. – № 1(106). – С. 140-144.
2. Ахметова, Ф. Х. Методика изложения темы "Решение краевых задач для уравнения Лапласа для круга и кольца методом разделения переменных" / Ф. Х. Ахметова, О. Ю. Чигирева // Научно-методический электронный журнал Концепт. – 2018. – № V10. – С. 23–32.
3. Байков, В.А. Уравнения математической физики/ Байков В.А., Жибер А.В.: Учебник и практикум для академического бакалавриата. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Юрайт, 2019.
4. Бахвалов, Ю. А. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2012. – С. 636.
5. Гребенникова, И.В.. Уравнения математической физики: учебное пособие / И.В. Гребенникова.— Екатеринбург: УрФУ, 2016.— С. 164.
6. Дубова, Е. В. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге / Е. В. Дубова // Техника и технология. Теория. Практика : Cборник научных докладов, Ще́цин, 29–30 ноября 2014 года / Sp. z o.o. «Diamond trading tour». – Ще́цин: Общество с ограниченной ответственностью Диаманд Трейдинг тур, 2014. – С. 72-74.
7. Жазыкпаев, А. К. Численный метод решения краевой смешанной задачи, порожденной дифференциальным уравнением Лапласа / А. К. Жазыкпаев, О. А. Торшина // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 6. – С. 174.
8. Захаров Е.В., Дмитриева И.В., Орлик С.И. Уравнения математической физики. - М.: Академия, 2010. – 315 с.
9. Ильин А.М. Уравнения математической физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009. — 192 с.
10. Карташов, Э. М. О новом подходе при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа / Э. М. Карташов // Известия Российской академии наук. Энергетика. – 2010. – № 1. – С. 119-127.
11. Кудашева, Е. Г. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Устойчивость течения жидкостей в канале с линейным профилем температуры / Е.Г. Кудашева, Р. Д. Муртазина, А. Д. Низамова, Н. А. Сидельникова. – Москва : Общество с ограниченной ответственностью "Издательство "КноРус", 2021. – 134 с. – ISBN 978-5-4365-7122-5.
12. Куканов, Н. И. / Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Ч. 1 : методические указания / – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – С. 23.
13. Малышева, И. Ю. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце / И. Ю. Малышева // Сборник научных трудов SWorld. – 2014. – Т. 29. – № 4. – С. 85-87.
14. Масаева, О. Х. Задача Дирихле в полуплоскости для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной / О. Х. Масаева // Актуальные проблемы прикладной математики и физики : материалы международной научной конференции, Нальчик - Терскол, 17–21 мая 2017 года. – Нальчик - Терскол: Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 2017. – С. 146-147.
15. Минькова, Р.М. Математическая физика в примерах и задачах / Р.М. Минькова, Екатеринбург: УрФУ, 2012. – С. 110.
16. Минькова, Р.М. Методы математической физики: учебное пособие / Р.М. Минькова. Екатеринбург: УрФУ, 2013.
17. Сабитов, К. Б. “Задача Дирихле для уравнений с частными производными высоких порядков”, Матем. заметки, 97:2 (2015), 262–276.
18. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики : учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению ВПО 010400 "Прикладная математика и информатика" / К. Б. Сабитов ; Физматлит. – Москва : ООО Издательская фирма "Физико-математическая литература", 2013. – 352 с. – ISBN 978-5-9221-1483-7.
19. Скибина, Н. Г. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга / Н. Г. Скибина // Техника и технология. Теория. Практика : Cборник научных докладов, Ще́цин, 29–30 ноября 2014 года / Sp. z o.o. «Diamond trading tour». – Ще́цин: Общество с ограниченной ответственностью Диаманд Трейдинг тур, 2014. – С. 81-83.
20. Ступень, И. Д. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей / И. Д. Ступень ; науч. рук. В. С. Марцинкевич // Материалы 75-й студенческой научно-технической конференции [Электронный ресурс] / Белорусский национальный технический университет, Факультет информационных технологий и робототехники ; сост.: В. А. Мартинович, Г. И. Жиров. – Минск : БНТУ, 2019. – С. 245-248.
21. Тимофеев, В. Г. Априорные оценки решения задачи Дирихле в круге / В. Г. Тимофеев // Математика. Механика. – 2009. – № 11. – С. 71-74.
22. Тимофеев, В. Г. О задаче Дирихле в круге / В. Г. Тимофеев // Математика. Механика. – 2013. – № 15. – С. 84-86.
23. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). М.: Наука, 2008. – 381с.
Значит, функция u(x) является гармонической в области D, непрерывной на замкнутой области D ̅ и ├ u(x)┤|_Γ=0. По доказанному выше принципу экстремума max┬D ̅ u и min┬D ̅ u достигаются на границе Γ, а на Γ функция u(x)=0. Тогда u(x)≡0 в D ̅, т.е. u_1 (x)≡ u_2 (x).
Теорема 2 (устойчивость решения). Решение задачи (2) – (4) непрерывно зависит от граничной функции. Доказательство. Пусть u_1 (x)- решение задачи (2) – (4) при граничной функции f_1 (x), а u_2 (x)- решение задачи (2) – (4) при функции f_2 (x). Тогда разность u_1 (x)- u_2 (x) является решением задачи (2) – (4) с граничной функцией f_1 (x)-f_2 (x). Пусть для любого ε>0 и при всяком x∈Γ справедливо неравенство |f_1 (x)-f_2 (x)|<ε.