Задачи на построение с помощью одной линейки
Введение
Практически вся история геометрии и других различных разделов ма-тематики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основателем научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э. до н.э., наглядно показывают роль геометрических построений в развитии геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать» – эти постулаты Евклида определённо указывают на основное положение конструктивных методов в античной геометрии.
Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» только построения, сделанные с помощью лишь циркуля и линейки, не при-знавая «законным» использование иных средств для решения конструктив-ных задач. При этом, следуя постулатам Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности совершенно любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и в наше время считаются весьма занимательными, и вот уже более сотни лет являются традиционным материалом школьного курса геометрии.
Весомым аргументом в пользу таких задач является то, что они разви-вают поисковые навыки решения практических проблем, способствуют вы-работке определённых геометрических представлений, а также более тща-тельной проработке умений и навыков; что в свою очередь усиливает при-кладную направленность обучения геометрии. Задача на построение является качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, даёт возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 5
1.1. ОБЩИЕ АКСИОМЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 5
1.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ АКСИОМАХ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 7
1.3. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА – ПОНСЕЛЕ 8
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ 11
2.1. ПОНЯТИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 11
2.2. ПРОЕКТИВНЫЕ ФАКТЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 14
2.3. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ ОДНОЙ ЛИНЕЙКОЙ 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 21
Список литературы
1. Адлер А. Теория геометрических построений. Л., 1998. 232 с.
2. Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение М., 1950. 176 с.
3. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия : учеб. пособие. Москва, 2008. Ч. 2. 352 с.
4. Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии // Математика в школе. 2002. №9. С. 47-50.
5. Гейлер В. А. Неразрешимые задачи на построение. // СОЖ. 1999. № 12. С. 115–118.
6. Геометрия: доп. главы к шк. учеб. 8 кл. : учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С.Атанасян [и др.] – М., 1996. 205 с.
7. Погорелов А. В. Геометрия : учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. М., 2009. 224 с.
8. Толстопятов В. П. Проективные факты в решении элементарно - гео-метрических задач : методическая разработка. Екатеринбург, 2000. 42 с.
Решение неопределённой геометрической задачи ищется в своего рода па-раметрической форме. Указывается приём построения фигур, удовлетворя-ющих условиям задачи, причём эти фигуры определяются выбором положения одной или нескольких произвольных точек на некоторых данных или построенных фигурах. Эти точки играют роль «геометрических параметров». Задача считается решённой, если при всевозможных допустимых положениях произвольных точек возникают все фигуры, удовлетворяющие условиям задачи. Может оказаться, что фигуры, обладающей указанными в задаче свойства-ми, вовсе не существует. Так, например, нельзя построить окружность, впи-санную в данный прямоугольник, если он не является квадратом, нельзя по-строить общую касательную к двум концентрическим окружностям. Может случиться также, что решение задачи существует, но не может быть найдено данными средствами. Например, нельзя построить прямую, соединяющую две данные точки, располагая только циркулем, или провести окружность, проходящую через три данные точки, располагая только линейкой. Во всех этих случаях решить задачу на построение – значит доказать, что искомая фигура не существует или, соответственно, что она не может быть построена данными средствами.