Показательные уравнения и неравенства в курсе математики средней школы
Введение
В школьном курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений и неравенств. Впервые ученики встречаются с ними в 10 классе, после знакомства с показательной функцией и ее свойствами.
Показательные уравнения, неравенства и их системы часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике как на базовом, так и на профильном уровнях. По этой причине следует уделить значительное внимание изучению основных методов решения показательных уравнений и неравенств на уроках математики в средней школе.
Актуальность темы выпускной квалификационной работы (ВКР) обусловлена тем, что у обучающихся часто возникают трудности при решении показательных уравнений и неравенств. Причинами этого являются следующие обстоятельства:
- незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;
- при решении показательных уравнений и неравенств учащиеся производят преобразования, не эквивалентные исходным уравнениям и неравенствам;
- при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают вернуться к обратной подстановке.
Оглавление
Введение 3
Глава I. Методы решения показательных уравнений и неравенств 5
1.1. Показательные уравнения 5
1.1.1. Метод уравнивания показателей 5
1.1.2. Метод введения новой переменной 6
1.1.3. Метод вынесения общего множителя за скобки 8
1.1.4. Функционально-графический метод 9
1.1.5. Метод почленного деления 10
1.1.6. Метод группировки 11
1.2. Показательные неравенства 13
1.2.1. Неравенства вида a^(f(x))>a^(g(x)) 13
1.2.2. Неравенства вида〖 a〗^(f(x))>b,a>0 14
1.2.3. Неравенства вида a^(f(x))>b^(g(x)) 15
1.2.4. Решение показательных неравенств методом замены переменной 16
1.2.5. Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций 17
1.3. Системы, содержащие одно или два показательных уравнений 18
1.4. Системы неравенств. Совокупность неравенств 20
Глава II. Методика изучения показательных уравнений, неравенств и их систем 22
2.1. Анализ заданий на решение показательных уравнений и неравенств в составе ЕГЭ 22
2.2. Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения и неравенства» 23
2.3. Методические особенности изучения показательных уравнений и неравенств 28
Метод введения новой переменной 34
Заключение 58
Список литературы 59
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа: Учебник для общеобразовательных учреждений 10-11 классы:/ А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.
2. ЕГЭ 2009. Математика. Справочник / А. М. Титаренко, И. В. Третьяк, Т. М. Виноградова. – М: Эксмо, 2008. – 448 с.
3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004. – 384 с.
4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003. – 143 с.
5. Система тренировочных задач и упражнений по математике./ Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с.
6. Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: задачник /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.-М.: Мнемозина, 2007. – 315 с.
7. Справочник по математике. / Гусев В.А., Мордкович А.Г. - М: Просвещение, 1995. – 448 с.
8. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др., 2012. – 464 с.
9. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 192 с.
10. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов/ под редакцией Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, 2007. – 320 с.
11. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика. Авторы – составители А.М.Титаренко; А.М. Роганин. Под редакцией Т.И. Максимовой. ООО « Издательство «Эксмо», 2008. – 304 с.
12. Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. - М.: Эксмо, 2009. – 272 с.
13. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие/ Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. – 352 с.
14. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие/ И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2006. – 479 с.
15. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-прес, 2003. – 432 с.
16. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
Ресурсы удаленного доступа
1. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина. Эл. адрес: http://www.mathnet.spb.ru
2. Учительский портал. Эл. адрес: http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-23602
3. Сайт учителя математики. Эл. адрес: http://lesavchen.ucoz.ru/publ/10-1-0-149
4. Система индивидуальных работ при обучении математике в старших классах. Эл. адрес: http://www.korolewa-ow.narod.ru/sist_ind.htm
Набор упорядоченных пар, точек (в случае систем с тремя переменными) и т.д. значений переменных обращающие каждое уравнение системы в истинное равенство, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать отсутствие решений. Система называется когерентной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.