Разработка эффективных численных алгоритмов для решения несобственных интегралов II рода
ВВЕДЕНИЕ
Интегралы применяются во многих областях науки и техники. Решение большого количества задач физики и математики связано с вычислением интегралов. Все процессы в природе, в которых постоянно изменяются какие-либо параметры, например давление, координаты, время, температура вычисляются с помощью дифференциального и интегрального исчисления.
Интегралы нашли свое применение в астрономии (интегралы энергии и площадей; движение звезд); медицине (компьютерная томография); биологии (устанавливают прирост численности популяций; биомассу популяций и среднюю длину пути (полета) при прохождении некоторого фиксированного участка), физике (вычисление работы переменной силы; вычисление массы неоднородного стержня).
Интеграл – одно из важнейших понятий математического анализа. Различают интегралы определенные и неопределенные, сходящиеся и расходящиеся, двойные и кратные, криволинейные и поверхностные, собственные и несобственные. В данной работе будут рассмотрены несобственные
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ7
1. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ II РОДА.8
1.1. Несобственный интеграл. Основные понятия.8
1.1.1. Несобственный интеграл I рода по неограниченному промежутку8
1.1.2. Несобственный интеграл второго рода от неограниченной функции9
1.1.3. Несобственный интеграл второго рода от положительных функций10
1.1.4. Несобственный интеграл второго рода от произвольных функций12
1.1.5. Свойства несобственных интегралов13
1.1.6. Сходимость несобственных интегралов второго рода14
1.2. Формулы для вычисления несобственных интегралов15
1.2.1. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов15
1.2.2. Формула интегрирования по частям16
1.2.3. Замена переменной в несобственных интегралах17
1.3. Применение квадратурных формул для приближенного вычисления несобственных интегралов18
1.3.1. Метод Гаусса18
2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ПО КВАДРАТУРЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ С СИММЕТРИЧНЫМ ВЕСОМ ЯКОБИ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.23
2.1. Алгебраическая точность и асимптотический порядок25
2.1.1. Алгебраическая точность25
2.1.2. Асимптотический порядок26
2.3. Границы погрешности с помощью комплексного анализа29
2.4. Выражение коэффициентов функцией Бесселя34
2.4.1. Коэффициенты 34
2.4.2. Коэффициенты 37
2.5. Интерполяционная квадратурная формула 38
2.6. Интерполяционная квадратурная формула 40
3. АППРОКСИМАЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ II РОДА НА ПРАКТИКЕ43
3.1 Метод Гаусса43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ46
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:
Кастрица О. А., Мазаник С. А., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., Несобственные интегралы: учеб.-метод. пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики. Минск: БГУ, 2011. 51 с.
Белоусова В.И., Ермакова Г.М., Михалева М.М., Чуксина Н.В., Шестакова И.А., Высшая математика : учебное пособие. Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. 300 с.
Бутузов В.Ф., Бутузова М.В., Несобственные интегралы: учебное пособие. Москва, 2016. 44 с.
Левашова Н.Т., Шапкина Н.Е.. Несобственные интегралы. Решение задач: учебное пособие. Москва, МГУ, 2016. 69 с.
Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительно математики. Москва: Изд-во “Наука”, 1966. 664 с.
Романова Л. Д., Шаркунова Т. А., Елисеева Т. В.. Интегральные преобразования: учеб. Пособие. Пенза: Изд-во ПГУ, 2015. – 80 сКосарев А.А., Вервейко Е.А.. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье: Методические указания по решению задач математического анализа. Воронеж.: ВГУ. 2002. – 28 с.
Bolinder, E. F. The Fourier integral and its applications. Proc. IEEE, 2005, 267.
Зубов В.И.. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие Москва: МФТИ, 2007. — 51 с.
Если существует первообразная функции при и существует то справедливо равенство (формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов первого рода):
Если у функции с особой точкой существует первообразная при и существует то справедливо равенство (формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов второго рода):
1.2.2. Формула интегрирования по частямФормула интегрирования по частям для несобственного интеграла первого рода имеет вид
где При этом предполагается, что функции и непрерывны вместе со своими производными на всей области интегрирования. Другими словами, верна следующая теорема.
Теорема 1.5. Пусть функции и имеют непрерывные производные на полупрямой и существует . Тогда из сходимости одного из интегралов следует сходимость другого, и справедливо равенство
Аналогичное утверждение формулируется и для несобственных интегралов второго рода.