Исследование динамических режимов дискретных осцилляторов Ресслера
Введение.
Динамическая система — это математическая модель объекта, процесса или явления. Динамические системы представляют собой набор величин, называемых динамическими переменными, которые характеризуют состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени получены из исходного множества по определенному правилу.
Динамические системы обычно определяются в терминах дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают поведение системы в течение некоторого времени.
Каждая из основных областей классической физики создала свою модель хаотической динамики, гидромеханика - уравнение Лоренца, структурная механика - осциллятор Даффинга-Холмса с двумя потенциальными ямами, электротехника - система Даффинга-Уэды.
Другая модель возникла в динамике химических реакций, протекающих в некоторой смеси с перемешиванием. Предложил ее Ресслер.
В этой работе исследуются связанные системы с периодическим и хаотическим поведением. В качестве модели системы с периодическим и хаотическим поведением исследуется математическая модель дискретного осциллятора Ресслера, полученная из классической модели Ресслера с использованием метода искусственной выборки, которая заключается в модификации исходной потоковой системы путем замены производных конечными разностями.
Целью выпускной
Содержание:
Введение…………………………………………………………………………...3
Глава 1 Введение в теорию динамических систем……………………………..5
1.1 Динамические системы……………………………………………………5
1.2 Модель Ресслера………………………………………………………….11
1.3 Ляпуновские показатели...…………….………………………………....14
1.4 Динамические режимы…………………………………………...……...21
Глава 2 Исследование динамики связанных систем …...……………………..23
2.1 Исследование системы двух связанных дискретных осцилляторов Ресслера.…………………………………………………………………...23
2.1.1 Расчет ляпуновских показателей двух связанных дискретных осцилляторов Ресслера………………………..23
2.1.2 Карта ляпуновских показателей двух связанных дискретных осцилляторов Ресслера…………………………………………….26
2.2 Исследование системы трех связанных дискретных осцилляторов Ресслера ……………………………………………………………...……32
2.2.1 Расчет ляпуновских показателей трех связанных дискретных осцилляторов Ресслера………………………..32
2.2.2 Карта ляпуновских показателей трех связанных дискретных осцилляторов Ресслера……………………………………...36
Заключение……………………………………………………………………….43
Список литературы………………………………………………………………44
Список литературы
Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: Новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002
Килин А. А., Мамаев И. С., Иванова Т. Б. Механика систем со связями: учеб.-метод. пособие. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2020 94 с.
С.П. Кузнецов. Динамический хаос. Изд-во Физматлит, Москва, 2001
Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Физика квазипериодических колебаний. Саратов: Издательский центр «Наука», 2013, 252 с.
Ф.Мун. «Хаотические колебания», Москва, «Мир», 1990
Rössler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. 1976
Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. 620 с
А.Б. Адилова, А.П. Кузнецов, А.В. Савин, Динамика связанных дискретных осцилляторов Ресслера. Изв. Вузов «ПНД», т.21, №5, Саратов, 2013
Пиковский А., Розенблюм М., Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносерв, 2003
Рис.1.1. Карта ляпуновских показателей системы при ɛ=0.1, b=0.1. Различными цветами представлены разные динамические режимы. Красным – периодический (P), пурпурным – квазипериодический (Q), синим – хаотический (С). При отрицательном ляпуновском показателе наблюдается периодический режим. При ляпуновском показателе равном нулю наблюдается квазипериодический режим (Q). При положительном ляпуновском показателе наблюдается хаос (C).
Ляпуновские показатели
Удобным инструментом исследования динамических систем могут предназначаться ляпуновские показатели. Они характеризуют изменение k-мерного объема в фазовом пространстве, другими словами, показывают, как ведут себя во времени изначально близкие траектории.
В трехмерных системах, кроме устойчивых точек и предельных циклов, аттракторами могут быть инвариантные торы и странные аттракторы:
– устойчивый фокус или узел;
– устойчивый предельный цикл;
– устойчивый тор;