Трапеция и ее свойства
Введение
Для решения геометрических задач не похожих одна на другую, при-ходится каждый раз находить новый подход к решению, а это способствует развитию геометрической интуиции.
При подготовке к ЕГЭ учителя часто делают акцент на заучивании определений и решении большого количества технических вычислительных задач, и недостаточное внимание уделяется решению содержательных геометрических задач, развивающих видение геометрических конструкций.
Для овладения навыком решения задач по геометрии необходимо, чтобы учащиеся освоили достаточный теоретический материал. Задачи на тему «Трапеция» требуют знаний из разных разделов геометрии, например, таких как:
- Четырехугольники и виды трапеций;
- Параллельные прямые;
- Подобные треугольники;
- Теорема Фалеса;
- Теорема Пифагора;
- Пропорциональные отрезки;
- Равновеликие фигуры;
- Вписанные и описанные окружности.
Трактовка термина «трапеция» впервые появляется в работах времен Древней Греции и в перевод с греческого означает «столик». Именно эта фигура была упомянута уже у Евклида, в его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом. «Трапеция» в нашем понимании встречается только в работах древнегреческого математика Посидония. До XVIII века трапецию изучали только по работам Евклида, а позднее данный термин приобрел современный смысл. Ушаков Д.Н. определяет это понятие как четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами.
Содержание
Введение 3
Теоретическая глава. Трапеция и ее свойства с определением 5
1.1 Основные понятия 5
1.2 Классификация (виды трапеций) 7
1.3 Свойства трапеции 7
1.4 Формулы для вычисления площади трапеции 7
1.5 Средние величины 7
1.6 Связь трапенции и окружности 7
Практическое применение (методы решения геометрических задач) 14
2.1 Метод дополнительного построения 14
2.2 Метод введения вспомогательного неизвестного 17
2.3 Метод подобия 17
2.4 Метод площадей 17
2.5 Векторный метод 17
Заключение 29
Литература 31
Литература
1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования: Приказ Мин. образования и науки РФ от 17.12.2010 г. №1897. [Электронный ресурс].
2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
4. Геометрия: учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2012.
5. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса / Гусев В.А., Медяник А.И. – М.: Просвещение, 2010.
6. Жохов В. И., КарташоваТ.Г., Крайнева Л.Б. Геометрия. Поуроч-ные разработки. 7 – 9 классы. Книга для учителя — М., 2010.
7. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика ГИА. 9 класс. Методическое пособие для подготовки./ М.: Издательство « Экзамен», 2011.
8. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
9. Минаева, С.С., Колесникова Т.В. ГИА 2014. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / Минаева С.С., Колесникова Т.В. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 62. с. (Серия «ГИА. 9 кл. Типовые тестовые задания»). – ISBN 978-5-377-02963-2.
10. Глейзер, Г.И. История математики в школе [Электронный ре-сурс] : пособие для учителей / Г.И. Глейзер, под ред. В.Н. Молодшего. – М., 1964. – 376 с.
11. Готман, Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения [Текст] : пособие для учащихся. – М. : Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 240 с. 6. Евклид, Начала Книги I-IV. – М. : ГТТИ, 1948 – 1950.
12. Кушнир, И.А. Избранные задачи по геометрии. Трапеция [Текст] / И.А. Кушнир. – М. : ИЛЕКСА, 2016. – 96 с.
13. Зеленяк, О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алго-ритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal [Текст] : уч. пособие / О.П. Зеленяк. – Киев, Москва : ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008 – 336 с.
14. Ожегов, С.И. Толковый словарь русского языка / С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. – М.: ИТИ Технологии, 4-е изд., 2013. – 944 с.
15. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии [Текст] : учеб. пособие. – 5 изд. – М. : МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.
16. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы [Текст] : учебник для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 240 с. 24
17. Сурина, О.П. Элементарная геометрия [Текст] : уч. пособие для студентов направления подготовки Педагогическое образование профилей «Математика», «Физика», «Информатика». – Пенза: издательство ПГУ, 2012. – 107 с.
18. Фильчаков, П.Ф. Справочник по элементарной математике [Текст] : уч. пособие / П.Ф. Фильчаков. – Киев. : Наукова Думка, 1972. – 528 с.
19. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : уч. пособие / Г.М. Фихтенгольц. – 2 том. – М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2006. – 800 с.
20. Ященко, И.В. Математика. Профильный уровень. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь [Текст] / И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, П.И. Захаров. – М. : Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2017. – 295 [1] с.
21. Ященко, И.В. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные ва-рианты : 36 вариантов [Текст] / под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство «Национальное образование», 2016. – 240 с
Термин «трапеция» появляется в планиметрии как отдельная фигура и в стереометрии как грань усечённого геометрического тела. В высшей математике можно рассчитать площадь криволинейной трапеции, для этого нужно вычислить определенный интеграл. Определенным интегралом называют конечный предел суммы Ι в промежутке от α до b:
Ι = ∫_a^b▒〖f(x)dx.〗
В повседневной жизни задачи на трапеции часто используются: созвездие Орион (звезды образуют трапецию), в биологии используются понятия трапециевидной мышцы и трапециевидной кости, для пошива одежды используется трапециевидная форма и т.д. Отсюда и возникает потребность в изучении свойств трапеции.