Свойства степенных вычетов однозначных, двузначных и трехзначных чисел по модулю, равному натуральной степени основания системы счисления.
ВВЕДЕНИЕ
Натуральное число лежит в основе развития всей математики, хотя являются первыми числами, которыми начали пользоваться люди в древности. Хотя созданы новые числовые системы путем обобщения системы натуральных чисел, продолжается изучение натуральных чисел, их свойств. Подобные исследования составляют предмет исследования современной математики, в частности, теории чисел, включающей элементарную теорию чисел, алгебраическую теорию чисел и аналитическую теорию чисел.
Некоторые задачи теории чисел отличаются особенностью, заключающейся в относительной простоте их формулировок и сложности их решения. Известным примером служит великая теорема Ферма.
Еще в трудах Евклида встречаются некоторые положения современной теории делимости. Так греческим математикам были известны эратосфеново решето и диофантовы уравнения.
Дальнейшее развитие теория чисел получила в 18 веке в трудах Л. Эйлера (1707—1783). Ему принадлежит обобщение основного результата Ферма для случая делимо
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.
1,1. Операция деления в кольце целых чисел. Свойства деления.
1.2. Простые числа и их применения.
ГЛАВА 2. ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЦЕЛЫХ ПО МОДУЛЮ. КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ.
2.1. Числовые сравнения.
2.2. Классы вычетов по модулю.
2.3. Сравнения с неизвестной в кольце целых чисел.
ГЛАВА 3. СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
3.1. Степенные вычеты. Классы степенных вычетов и их показатели.
3.2. Вычисление степенных вычетов натуральных чисел до 999.
3.3. Свойства классов степенных вычетов по модулю, равному степени основания системы счисления.
Заключение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бухштаб А.А. «Теория чисел», Просвещение, 1966 г. – 376 с.
Виноградов И. М. «Основы теории чисел», 5-е издание 2003 г. –178 c.
Виленкин Н.Я. «Алгебра и теория чисел», 3 глава, 1984 г. – 192 с.
Веселова Л.В. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Веселова Л.В., Тихонов О.Е.— К.: Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2014. 107— c.
Чанга Марис Евгеньевич Методы аналитической теории чисел: учебное пособие / Чанга Марис Евгеньевич— М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2013. 388— c.
Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Часть 1: учебное пособие / Веретенников Б.М., Михалева М.М.— Е.: Уральский федеральный университет, ЭБС АСВ, 2014. 52— c.
Грибанов П.И., Титов П.И. «Сборник упражнений по теории чисел»,1964 г. – 144 c.
Джамбетов Э.М., Джамбетова Л.М. Некоторые свойства степенных вычетов, Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования: математика, физика, информатика». Грозный. 2013.
Шудуева И.С. : «ВЫЧИСЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ ПО
МОДУЛЮ 10n». Выпускная квалификационная работа (бакалавр). Грозный 2019 г.
по модулю m называется множество всех целых чисел, сравнимых с некоторым данным целым числом a по модулю m.
Обозначают такой класс через a. Например: 3, 4 и другие.
Определение 2. Вычетом класса называется любое число из этого класса.
Примеры вычетов: –11 – вычет из класса 1,
24 – вычет из 4 и так далее.
Не трудно убедиться в справедливости свойств вычетов и классов.
Свойство 1. Класс чисел, сравнимых с r по модулю m, состоит из чисел вида r+mk, где k принимает целые значения.
Пример. По модулю 5 класс 21 содержит числа
…–21, –16,–11, –6, 1, 6, 11, 16, 21,…Свойство 2. Классы a и b совпадают тогда и только тогда, когда
a≡b(mod m).
Свойство 3. Два класса, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают.
Это следует из свойства транзитивности отношения сравнимости.
Свойство 4. Все вычеты класса дают один остаток при делении на m.
Такой вывод полностью основывается на втором определении сравнимости чисел по модулю.
Свойство 5. Число классов вычетов