Метод простых итераций

Курсовой проект, основной идеей которого является изучение метода простых итераций, а также его применение для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В ходе своей работы и исследования метода простых итераций для решения системы линейных алгебраических уравнений автор приходит к выводу о том, что данный метод очень удобен для применения в подобных алгебраических случаях. Работая над данной программой, автор узнал много новой информации о данном методе решений, о том насколько облегчает данный метод решение каких – либо систем уравнений с помощью программирования.
Author image
Radik
Тип
Курсовой проект
Дата загрузки
28.09.2022
Объем файла
800 Кб
Количество страниц
22
Уникальность
Неизвестно
Стоимость работы:
Бесплатно
Заказать написание авторской работы с гарантией

Введение

Линейная алгебра – это часть алгебры, которая главным образом изучает линейные (векторные) пространства и их подпространства, линейные отображения, линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.
Линейная алгебра, численные методы – это раздел вычислительной математики, который посвящён математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры. Среди задач линейной алгебры самыми основными являются две: решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и определение собственных значений и собственных векторов матрицы. Другие также часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и др.
Любой численный метод линейной алгебры можно рассматривать как некоторую последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод называется п

Оглавление

Введение 3

ГЛАВА 1 - Теоретическая часть 6

1.1 Краткий экскурс в историю метода простых итераций 6

1.2 Сущность метода простой итерации 6

1.3 Описание метода простых итераций 7

1.4 Сходимость метода простых итераций 10

1.5 Алгоритм метода простых итераций 13

1.6 Геометрический смысл метода простых итераций 14

1.7 Основные определения и обозначения 14

1.8 Масштабирование 15

ГЛАВА 2 – Практическая часть 17

2.1 Постановка конкретной задачи 17

2.2 План программной реализации решения поставленной задачи 17

2.2.1 Краткое описание работы программы 17

2.2.2 Выбор системы программирования для реализации 19

2.2.3 Разработка программного интерфейса 20

2.3 Программная реализация 22

2.3.1 Работа с полями ввода программы, матрицы и свободных членов 23

2.4 Тестирование созданного калькулятора 25

2.5 Сравнение результатов с другими математическими сервисами 26

Заключение 34

Список используемой литературы 34

Приложение 1 37

Приложение 2 39

Приложение 3 41

Список используемой литературы

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. - 6-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 280 стр.

2. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование. Учебное пособие. М.: Форум: Инфра-М. 2016. 336 стр.

3. Макарова Н.В., Волков В.Б. Информатика: учеб. пособие для студентов вузов. СПб.: Питер. 2013. 576 стр.

4. Научная электронная библиотека “Библиоклуб.ру” https://biblioclub.ru/ 

5. Васильев А. Н. Программирование на С# для начинающих. Основные сведения / Алексей Васильев. – Москва : Эксмо, 2016. 592 стр. 

6. Дж. Либерти  Программирование на C#. М: Москва 2003. 456 cтр.

7. Калитвин, А.С. Лекции по математическому анализу: учебное пособие для студентов педагогических вузов : [16+] / А.С. Калитвин ;

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц - М.: Наука, 1969. 368 стр.

9. Кнут Д. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы. М.: Вильямс. 2017. 720 с.

10. Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. Пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

11. Павловская Т. А. С#. Программирование на языке высокого уровня. 

12. Учебник для вузов. – СПб. : Питер, 2009. – 432 с. 

13. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование. Учебное пособие. М.: Форум: Инфра-М. 2016. 336 с.

14. Павловская Т.А. С/С# Программирование на языке высокого уровня. Учебник для вузов. СПб.: Питер. 2013. 432  с.

15. Семакин И.Г. Основы программирования и баз данных. М.: Академия. 2014. 224 с.

16. Научная электронная библиотека “eLIBRARY.ru ” [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://elibrary.ru/defaultx.asp (дата обращения: 05.05.2022)

17. On-line курс «Параллельное программирование с помощью языка C#» http://www.intuit.ru/studies/courses/5938/1074/info

18. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608с

19. Скит Д. C# для профессионалов. Тонкости программирования. М.: Вильямс. 2017.608 с

20. Трофимов В.В., Павловская Т.А. Алгоритмизация и программирование. Учебник для академического бакалавриата. М.: Издательство Юрайт. 2018. 137 с.

21. Подбельский В.В.  Язык  С#.  Базовый курс. М.: Финансы и статистика, 2011.384 с.

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x(k) из полученной последовательности является приближенным решением.
Оценка погрешности этого приближенного решения x(k) дается следующей формулой:
| xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|
Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.
Начальный вектор x( 0 ) может быть выбран, вообще говоря, произвольно.
Иногда берут x( 0 )=f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x( 0 ) взять приближенные значения неизвестных, полученные с помощью прикидки.
Приведение системы Ax=b к виду x=Cx+f можно осуществить подобным