Решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя
Введение
Метод Гаусса-Зейделя или метод последовательных замещений является классическим, самым распространенным итерационным методом решения для системы линейных уравнений. Этот метод использует последовательные приближения к искомому результату, что позволяет решить уравнение с любой заданной точностью. Заранее количество итераций неизвестно, что в некоторых случаях не приводит к результату.
Его особенность заключается в том, что полученное значение в первом уравнении, сразу применяется во втором уравнении, а затем значения первого и второго уравнения применяются уже в третьем и т.д.
Основная идея метода заключается в том, что при вычислении очередного (k+1) – го приближения к неизвестному, используют уже найденные (k+1) - е приближения к неизвестным x.
Целью своей работы я обозначила изучение метода Гаусса-Зейделя, а также его практическое применение и разработка программы для решения систем линейных уравнений.
Для достижения цели я выделила для себя следующие задачи:
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Системы линейных уравнений
1.1Система линейных уравнений
1.2Методы решения
1.3Итерационные методы решения
1.3.1 Метод простой итерации
1.3.2 Метод Якоби – Гаусса
1.3.3 Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)
1.3.4 Метод Гаусса
Глава 2. Теория метода Гаусса-Зейделя
2.1История возникновения метода
2.2Суть итерационных методов
2.3Основные определения
2.4Применение метода Гаусса-Зейделя
2.4.1. Общая интерпретация метода
2.4.2. Геометрическая интерпретация метода
Глава 3. Разработка программы для решения систем линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя
3.1.Задачи для реализации программы
3.2План программной реализации
3.2.1 Описание работы алгоритма программы
3.2.2 Система программирования для реализации программы
3.2.3 Программный интерфейс
3.3Тестирование программы
3.4 Проверка результатов программы с результатами решения с помощью других сервисов
Заключение
Список литературы
Список литературы
1 https://www.easycalculation.com/algebra/gauss-seidel-method.php (дата обращения: 14.05.2022)
2 Численные методы : учебное пособие : [16+] / П. К. Корнеев, Е. О. Тарасенко, А. В. Гладков, М. А. Дерябин ; Северо-Кавказский федеральный университет. – Ставрополь : Северо-Кавказский Федеральный университет (СКФУ), 2018. – Часть 2. – 107 с.
3 Даутов, Р. З. Основы численных методов линейной алгебры : учебное пособие : [16+] / Р. З. Даутов, М. М. Карчевский ; науч. ред. М. Ф. Павлова ; Казанский (Приволжский) федеральный университет. – Казань : Казанский федеральный университет (КФУ), 2018. – 136 с.
4 Численные методы: теория и алгоритмы учебное пособие /М.Н. Орешкова, Е.Е. Иванова; Сев. (Арктич.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова. – Архангельск: САФУ, 2015. – 120 с.
5 Белоцерковская, И. Е. Алгоритмизация. Введение в язык программирования С++ : учебное пособие : [16+] / И. Е. Белоцерковская, Н. В. Галина, Л. Ю. Катаева. – 2-е изд., испр. – Москва : Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016. – 197 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=428935 (дата обращения: 23.04.2022). – Текст : электронный.
6 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ (МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ, ПРОЦЕСС ЛИБМАНА, МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗАМЕЩЕНИЙ) С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕХНОЛОГИЙ ПРОГРАММИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»
7 Пронин Иван Игоревич ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ННГУhttp://www.unn.ru/pages/e-library/methodmaterial/2010/17.pdf
8 Колесникова, Т. Г.Языки программирования: учебное пособие / Т. Г. Колесникова; Кемеровский государственный университет. –
9 Кемерово, 2019. – 182 с.
Впервые итерационный метод для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений Аu = f был предложен Гауссом в 1828 г. Именно тогда началась история развития итерационных методов решения системы, сейчас история насчитывает уже около 200 лет, за это время было написано большое количество работ на тему “Итерационных методов”.
В 1874 году в своей работе Ф. Зейдель предложил итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений, ранее известный как метод Зейделя или метод Гаусса — Зейделя. В основе метода Зейделя лежит метод Якоби, основным отличием является то, что, определив из первого уравнения неизвестное его сразу используют в правой части выражения для вычисления следующего элемента.
Суть итерационных методовСуть итерационных методов
1. Вводятся исходные данные:
- коэффициенты уравнений,
- допустимое значение погрешности ε,
- начальные приближения значений неизвестных (вектор – столбец X(0) ).