Поле алгебраических чисел
ВВЕДЕНИЕ
В современную эпоху математической науки теория алгебраических чисел стремительно развивается и становится все более популярной. Она стала фундаментальным инструментом для решения различных математических задач. Эта область математики не только обогащает классическую теорию новыми результатами, но и делает вклад в саму классическую теорию.
Числовые поля — важная концепция в современной теории чисел. Они образуют уникальную математическую структуру, выступая в качестве естественного обобщения множества рациональных чисел. В этих полях каждое число может быть представлено как корень многочлена с конечным числом целых чисел, что открывает широкий спектр возможностей для изучения их свойств.
Главная особенность алгебраических числовых полей заключается в их сложной внутренней организации. Они обладают богатым набором свойств. Их изучение может привести к более глубокому пониманию лежащих в их основе математических принципов. Эти структуры служат уникальным мостом между класси
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Основы полей алгебраических чисел 6
1.1. Понятие алгебраического числа и поля алгебраических чисел 6
1.2. Кольцо целых алгебраических чисел и его свойства 7
1.3. Базис кольца целых и дискриминант 9
2 Алгебраические числа и диофантовы уравнения 11
2.1. Взаимосвязь алгебраических чисел и диофантовых уравнений 11
2.2. Уравнение Пелля - фундаментальная проблема теории чисел 12
3 Применение теории для решения уравнений 15
3.1. Алгоритм нахождения решений уравнения Пелля с использованием полей алгебраических чисел 15
3.2. Анализ эффективности предложенного метода на конкретном примере 16
3.3. Сравнение с другими методами решения диофантовых уравнений 18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Банникова, Т.М. Баранова Н.А. Основы теории чисел. — Ижевск: Удмуртский государственный университет, 2009. — 95 с.
2. Ван дер Варден , Б.Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 623 с.
3. Веретенников, Б.М. Михалева М.М. Алгебра и теория чисел. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2014. — 52 с.
4. Востоков, С.В. Востокова Р.П., Беззатеев С.В. Теория чисел и приложения в криптографии // Чебышевский сборник. — 2018. — №3. — С. 61–73.
5. Гельфонд, А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. — 224 с.
6. Дэвис, М. Путнам Х., Робинсон Д. Проблема разрешимости для показательно-диофантовых уравнений // Математика. — 1964. — №5. — С. 69–79.
7. Касселс, Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.
8. Коблиц, Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988. — 319 с.
9. Маклейн, С. Биркгоф Г. Алгебра. — М.: Мир, 1979. — 623 с.
10. Наварро, Г. Алгебраическая теория чисел. — М.: МЦНМО, 2011. — 168 с.
11. Острик, В.В. Цфасман М.А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2011. — 48 с.
12. Платонов, В.П. Бондаренко А.А., Рапинчук А.С. Числа и группы классов алгебраических групп // Серия математическая. — 1979. — №3. — С. 604–607.
13. Разинков, Е.В. Теория чисел и асимметричная криптография. — Казань: Казан. ун-т, 2020. — 53 с.
14. Ржонсницкая, Ю.Б., Зайцева И.В., Бровкина Е.А. Основы теории чисел. — Санкт-Петербург: РГГМУ, 2022. — 82 с.
15. Серпинский, В. 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968. — 157 с.
16. Степанов, С.А. Теория диофантовых приближений. — М.: Физматлит, 2001. — 184 с.
17. Хассе, Г. Аналити
Целый базис кольца целых алгебраических чисел представляет собой набор элементов, образующих базис над кольцом целых чисел. Особенностью такого базиса является то, что все его элементы являются целыми алгебраическими числами. Дискриминант этого базиса совпадает с дискриминантом всего числового поля. Существование целого базиса обеспечивает возможность эффективного изучения структуры кольца целых.
Как видно из формы кольца целых алгебраических чисел, из целочисленного базиса, составленного из целых элементов, выделяется особая область. Примечательно, что числовая характеристика такого базиса — его дискриминант — строго соответствует дискриминанту всего числового поля, что убедительно свидетельствует о корректности выбранной системы элементов базиса.
Это открывает широкие возможности для вычислений в рамках алгебраической теории чисел. Более того, согласованность свойств, различающих базис и поле, позволяет эффе