Цепные дроби
Введение
Цель работы — это проведение исследования теории цепных дробей, изучение свойств надлежащих дробей, особенностей раскладывания действительных чисел в неправильные дроби, анализ погрешностей, возникающих в итоге такого разложения, и употребление теории цепных дробей в практике для разрешения многих задач.
Понятие о цепных дробей в арифметику была введена в 1572 году математиком Бомбеллем, который был родом из Италии. А, в 1613 году Катальди, который так же родом из Италии, ввел современное обозначение о непрерывных дробях. Концепция о цепных дробей была впервые введена Леонардо Эйлером, который являлся величайшим математиком XVIII века. Он применял их при разложении функции и решении дифференциальных уравнений.
Работы Эйлера имели продолжение у М. Софронова (1729-1760), у академика В.М. Висковатова (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и другими учеными.
Различные значимые заслуги известной теории относятся к великому научному профессору Лагранжу, рождённому во Фран
Содержание
Введение...................................................................................................................3
Глава I. Правильные конечные цепные дроби.....................................................4
1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями..............................4
1.2 Свойства подходящих дробей….....................................................................5
Глава II. Бесконечные цепные дроби....................................................................8
2.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь...................................................................................8
2.2 Сходимость правильных бесконечных цепных дробей...............................11
Глава III. Приближение действительного числа рациональными дробями……………………………………..........................................................11
3.1 Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью……………………………………………………………………………11
3.2 Представление действительных чисел в виде цепных дробей…………...12
Решение задач........................................................................................................15
Заключение.............................................................................................................28
Литература.............................................................................................................29
Литература
1. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.
2. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
3 Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.
4. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение»
2.2 Сходимость правильных бесконечных цепных дробей.
Покажем, что некоторая последовательность является схожей не с непрерывной дробью, которое мы получим разложив иррациональное число, но и для каждой бесконечной дроби вида , где являются свободно выбранными положительными числами.
Для того, чтобы это доказать можно разобрать две походящие дроби на их взаимное расположение.
Изучим форму