Двойные интегралы
ВВЕДЕНИЕ
Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных, который вычисляется в некоторой области переменных. Это может быть прямоугольная область (то есть границы области заданы и являются постоянными числами), либо границы могут определяться неким функциональным выражением. В данном случае границы области интегрирования двойного интеграла задаются кривыми (графиками функций). В физике и математике вычисление двойных интегралов является частым необходимым этапом в решении задач. Например, с помощью двойных интегралов вычисляется масса плоских фигур (при этом f(x,y) - подынтегральная функция - играет роль поверхностной плотности фигуры, которая зависит от координат точек фигуры).
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера Швейцарский, прусский и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Наряду с Лагранжем - крупнейший математик XVIII века , завер
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5
1.1.История интегралов 5
1.2. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному интегралу 8
1.4 Переход к полярным координатам 17
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 20
2.1 Применение двойного интеграла в геометрии 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 24
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Классический университетский учебник МГУ «Высшая математика» В.А. Ильин, А.В. Куркина / 20 21 г
2. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра математический анализ/ М.: 2019 .
3. . И.В. Савельев, Курс общей физики, том 1/ М.: 2019 г.
4. А.П. Савина. Толковый математический словарь. Основные термины/ М.: Русский язык 2019 г.
5. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1/ М.: Оникс 21 век, 2021 г.
6. Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу/ М.: Высшая школа, 2020 г.
7. Н.Я. Виленкин. “Задачник по курсу математическо го анализа”/ М.:, Просвещение, 2022г. 1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико– математической литературы, 2019.
8 . Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 2021.
9. Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 2022.
10. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 2022.
С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. м Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферм