Поле вещественных чисел как расширение множества рациональных чисел
ВВЕДЕНИЕ
Простейшие виды чисел, такие как натуральные или действительные числа, обычно используются для обозначения количества предметов или множителя определенной единицы измерения.
Все математические концепции относятся к реальному миру. Записи натуральных чисел также используются в качестве идентификаторов, например, телефонные номера, номера дорог.
В математике понятие числа расширилось от натуральных, рациональных и действительных чисел, до таких абстракций, как комплексные числа , p-адические числа, кватернионы и седенионы.
Комплексные числа оказались полезными во многих областях, от компьютерной графики, электроники, теории жидкостей до квантовой физики и теории относительности.
Кватернионы используются в трехмерной графике для простого расчета вращений в пространстве.
P-адические числа нашли применение в криптографии.
При аксиоматическом построении теории числа выбирают не определенные понятия, принимая их за исходные, а так же отношения между ними и называют
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. Методы определения чисел 6
1.1. Алгебраические системы 6
1.2. Изоморфизм 13
1.3 Область натуральных чисел. Аксиомы Пеано 15
ГЛАВА 2. Задача расширения понятия числа 20
2.1. Аксиомы рациональных чисел 20
2.2. Область натуральных чисел 21
2.3 Системы счисления 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. История понятия числа и непрерывности в математическом анализе XVII–XIX вв.: моногр. / Синкевич Г. И.; СПб. гос. архит.- строит. ун-т. – СПб., 2016. – 312 c.
2. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с.
3. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотека «Квант»).
4. Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993.
Среди множества терминов, в названии которых присутствует слово «число», можно выделить следующие:
наборы чисел, создающие нетривиальную алгебру – сложение и умножение любых двух чисел из такого набора является внутренней операцией, то есть всегда дает результаты из этого набора[4].
К этой группе относятся все типы чисел.
Эти числа определяются с помощью аксиом, описывающих свойства действий над ними, или