Симметрические многочлены в элементарной алгебре
ВВЕДЕНИЕ
Для выведения уравнений больших степеней в наименьшие используется теория о симметрических многочленах, которая изучается в старших классах в школе на математике.Для квадратного уравнения с одним неизвестным x²+px+q=0 выписывается формула x1,2= −±, которая указывает на банальное решение. Для систем первой степени равным образом есть оригинальные пути решения. А вот по поводу уравнений наивысших степеней найти такие приемы труднее.
Наиболее универсальным подходом вывода таких равенств является способ исключения неизвестных. В теории в какой угодно системе двух математических уравнений с парой неизвестных можно, за вычетом одного неизвестного, извлечь многочлен второго. Впрочем не так часто форма исключения может быть простая. Большим неудобством такого действия оказывается, что он зачастую образовывает уравнение с высокой степенью.
В алгебре подтверждается: если первое уравнение системы имеет степень n, а другое - m, то после такого приема, как принято, выходит уравн
Содержание
ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3
ГЛАВА 1. Симметрические многочлены…………………..…………................5
1.1 Многочлены от двух переменных……………………….…………………..5
1.2 Многочлены от трёх переменных……..…………………………………….8
1.3 Симметрические многочлены от нескольких переменных…..…………...10
ГЛАВА 2. Задачи о симметрических многочленах……………………………13
2.1 Виды уравнений...............................................................................................13
2.2 Неравенства и тождества................................................................................18
2.3 Системы уравнений.........................................................................................20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................................24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 2019 г.
2. Алгебра и математичесий анализ. Учебник 11кл.//Авторы: Г.К. Муравин, О.В. Муравина. 2020 г. Изд-во: Дрофа.
3. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. Учебник 8 кл. //Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. 2021 г. Изд-во: Просвещение. Москва.
4. Методы решения задач по алгебре.//Авторы: С.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров, В.Ф. Максимов. Изд-во: Экзамен, 2019 г.
5. Дородницин В.А., Еленин Г.Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики. М.: Знание, 2018 г. № 4.
Каждый симметрический многочлен от трёх переменных отметим функцией от его трёх основных значениях:
Другими словами, для каждого симметрического многочлена f (x,y) имеется в наличии функция трёх переменных θ (u,v,w), что
Наглядные образцы их можно строить по аналогии со случаем двух переменных. Допустим, от коммутативности сложения исходит, что симметричным считается многочлен x + y + z, а из произведения — следует симметричность многочлена xyz.
Симметричное и степенное суммирование, такое как эти многоч