Применение интегральных преобразований к решению дифференциальных уравнений
Введение
Метод замены изучаемой функции f(x) некоторыми ее преобразованиями получил широкое распространение в математике и ее приложениях. Эти методы успешно применялись для решения дифференциальных и интегральных уравнений, для изучения специальных функций и для вычисления интегралов. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность составления таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.Существуют различные типы основных преобразований: Фурье, Лапласа, Ганкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и многие другие. Основным элементом, отличающим одно преобразование от другого, является ядро. Обычно ядро выбирают так, чтобы преобразование обладало определенными свойствами. Параметры интегрирования также зависят от типа преобразования. Если a и b являются конечными значениями, преобразование называется конечным полным преобразованием.
Оглавление
Введение
Глава 1. Интегральные преобразования
2. Преобразование Лапласа
3. Основные свойства преобразования Лапласа.
4. Обратное преобразование Лапласа.
5. Преобразование Фурье и его свойства
6. Свойства преобразования Фурье
7. Некоторые другие интегральные преобразования.
7.1. Преобразование Меллина.
7.2. Преобразование Гильберта.
Глава 2. Применение интегральных преобразований к решению дифференциальных уравнений.
1. Применение интегрального преобразования Фурье.
2. Применение преобразований Лапласа к решению дифференциальных уравнений.
2. Задачи
Заключение
Не найдено
Существуют различные типы основных преобразований: Фурье, Лапласа, Ганкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и многие другие. Основным элементом, отличающим одно преобразование от другого, является ядро. Обычно ядро выбирают так, чтобы преобразование обладало определенными свойствами. Параметры интегрирования также зависят от типа преобразования. Если являются конечными значениями, преобразование называется конечным полным преобразованием. Хотя характеристики комплектного трансформатора достаточно широки, они имеют много общего. Например, каждое необходимое преобразование является линейным оператором.Обычно полное преобразование строится таким образом, чтобы оно обладало особыми свойствами, позволяющими простым операциям над функциями изображения заменить сложные операции над исходными функциями классаТаким образом, для многих известных базовых преобразований действие разностных функций класса соответствует умножению функции изображения на независимую переменную. В результате обыкновенное дифференциальное уравнение для преобразуется в алгебраическое уравнение для профильных функций.Аналогична идея применения фундаментальных преобразований к уравнениям в частных производных. Дифференциальная операция по одной из переменных заменяется алгебраическим выражением. Уравнение преобразования будет иметь на одну переменную меньше. Далее решается более простая задача в изображениях.