Линии второго порядка при решении прикладных задач
ВВЕДЕНИЕ
В курсе геометрии изучается обширный материал, так или иначе одним из главных разделов является теория линии второго порядка. Решение задач на эту тему иногда бывает очень трудным.
Линии (кривые) второго порядка известны еще со времен древних греков. Тогда их называли «каноническими сечениями», а изучению их свойств были посвящены научные работы. Стало ясно, что пушечные ядра летят по параболической траектории, а движение планет происходит по эллиптическим орбитам. Позже в области небесной механики было введено понятие космической скорости. В результате было установлено, что объекты, запущенные с поверхности Земли с различными начальными скоростями, могут двигаться в пространстве по различным орбитам, представляющим собой линии (кривые) второго порядка: окружностям, эллипсам, параболам и гиперболам.
В 20 веке в ряде физических экспериментов было показано, что частицы в них движутся по траекториям, представляющим собой линии (кривые) второго порядка.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….. 3
ГЛАВА 1 Основные понятия ………………………………………………… 5
ГЛАВА 2 Окружность ………………………………………………………… 5
ГЛАВА 3 Эллипс ………………………………………………………………. 7
3.1 Каноническое уравнение эллипса ……………………………………. 7
3.2 Исследование формы эллипса по его уравнению …………………… 9
3.3 Дополнительные сведения об эллипсе ………………………………. 9
ГЛАВА 4 Гипербола …………………………………………………………… 12
4.1 Каноническое уравнение гиперболы ………………………………… 13
4.2 Исследование формы гиперболы по ее уравнению ………………… 13
4.3 Асимптоты гиперболы ………………………………………………... 14
4.4 Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат …………………………………………………………………... 16
4.5 Дополнительные сведения о гиперболе ……………………………… 17
ГЛАВА 5 Парабола ……………………………………………………………. 20
5.1 Каноническое уравнение параболы …………………………………. 20
5.2 Исследование форм параболы по ее уравнению …………………… 21
ГЛАВА 6 Общее уравнение линии второго порядка ……………………... 23
6.1 Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельных координатным осям …………………………………………………………….. 23
6.2 Уравнение Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 ……………………….. 24
6.3 Общее уравнение второго порядка …………………………………… 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………... 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………………... 28
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 17-е изд. – М. : АЙРИС-пресс, 2020. – 608 с.
Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник / Д. В. Беклемишев. – 13-е изд. – СПб : Издательство «Лань», 2015. – 448 с.
4.1 Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы гиперболы обозначим через и , а расстояние между ними через . Модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов обозначим через . Из определения гиперболы следует, что , значит .
Чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с серединой отрезка , а фокусы и лежали на оси (см. рис 4.1). Тогда в выбранной системе координат фокусы имеют координаты и .