Изучение основных видов уравнений с параметром и методов их решения
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения с параметром практически не изучаются в школьном курсе математики, хотя такие задачи встречаются в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. Для их решения не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы, однако их решение вызывают сложности у многих учащихся. В заданиях ЕГЭ задачи с параметром являются одними из самых сложных и процент приступивших к их выполнению довольно низкий. Поэтому данную тему считаю актуальной.
При выполнении задач с параметром учащиеся должны уметь использовать различные методы решения уравнений, уметь анализировать условие задачи и на основе проведенного анализа выбирать оптимальный метод решения. Часто приходиться комбинировать алгебраический и геометрический методы решения. При использовании алгебраического метода необходимо уметь раскладывать выражение на множители, замечать «скрытые» уравнения окружностей, раскрывать модуль и др. Геометрический метод делает решение задачи удобным и наглядным. Современн
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
§ 1. Общие сведения об уравнениях с параметром 3
§ 2. Линейные уравнения первой степени с параметром 4
§ 3. Дробно-рациональные уравнения с параметром 6
§ 4. Решение квадратных уравнений с параметром 9
§ 5. Нахождение значений параметра при заданных свойствах корней 14
§ 6. Задачи с параметром на теорему Виета 17
§ 7. Простейшие иррациональные уравнения с параметром 18
§ 8. Решение некоторых уравнений с параметром с использованием программы GeoGebra 23
Заключение 28
Литература 28
Литература
1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 239 с.
2. Болтянский В. Г. Фигурная скобка в определении модуля // Математика в школе. – 1976. – No 6. – С. 47-48.
3. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев, 1992. – 336 с.
4. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.:МЦНМО, 2007. – 296 с.
5. Кочагин В. Курс «Уравнения и неравенства с параметрами» // Математика. – 2002. – № 33. – С.24-26.
6. Маргулис А. Я. Внимание: в уравнении – параметр!/ А. Я. Маргулис, А. Г. Мордкович, Б. А. Радунский // Квант. – 1970. – No 9. – С. 19-25.
7. Виленкин Н. Я. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 8 кл. с углубл. изучением математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др. – М.: Просвещение, 2001. – 256 с.
8. Математика: алгебра. Функции. Анализ данных: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / [Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2005. – 287 с.
9. Мордкович А. Г. и др. Алгебра. 8 кл: Ч.2: Задачник для общеобразо-
ват. учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.
10. Фалилеева М.В. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4 (часть 5). – С. 1230-1235.
11. Фалилеева М. В. Частные сл
При решении иррациональных неравенств следует помнить, что возведение в квадрат правой и левой частей простейшего иррационального уравнения, это не тождественное преобразование, то есть уравнение f^2 (x) = g^2 (x), полученное возведением в квадрат правой и левой частей уравнения f(x) = g(x), может быть как равносильным, так и неравносильным исходному уравнению f(x) = g(x).
Например, при каком-то значении x_0 уравнение f(x) = g(x) примет вид неверного равенства 4 = 4. Возведя в квадрат обе части равенства, получим, что f^2 (x) = g^2 (x) при x_0 примет вид верного числового равенства 16=16. Таким образом, x_0 не является корнем f(x)=g(x), но является решением f^2 (x) = g^2 (x). Уравнения f(x) = g(x) и f^2 (x)=g^2 (x) имеют различные решения, и, следовател