Использование движений и подобий плоскости при решении геометрических задач
ВВЕДЕНИЕПонятие геометрического преобразования – одно из важнейших в геометрии. На преобразованиях многообразий основывается само современное определение геометрии, предложенное в 1872 г. Ф. Клейном. Так, предметом классической евклидовой геометрии являются те свойства фигур, которые не меняются при движениях плоскости или пространства –преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками.
Кроме того, геометрические преобразования имеют и практическое значение, так как достаточно разнообразны их приложения к решению задач. Например, метод преобразований является одним из основных методов решения задач на построение или на экстремум.
Необходимо отметить, что перечень задач, на решении которых демонстрируется метод преобразований в многочисленной литературе, достаточно стандартен. Однако геометрические преобразования нередко оказываются применим к задачам, традиционно решаемым другими методами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ 4
1.1. Преобразования плоскости 4
1.2. Движения плоскости 5
1.3. Свойства движений 5
1.4. Классификация движений плоскости 7
1.5.Преобразование подобия плоскости 11
ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 13
2.1. Особенности изучения темы «Преобразования плоскости» 13
2.2. Особенности обучения решению планиметрических задач с применением параллельного переноса 14
2.3. Особенности обучения решению планиметрических задач с применением осевой и центральной симметрий 18
2.4. Особенности обучения решению планиметрических задач с применением поворота 21
2.5. Особенности изучения скользящей симметрии 24
2.6. Особенности обучения решению планиметрических задач с применением подобия 27
2.7. Задания на определения вида преобразования плоскости. 29
2.8. Задача о двух картах 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Л.В. Львова, Геометрия. Преобразования и построения: Учебное пособие/ Л.В. Львова — Барнаул: АлтГПА, 2012. — 174 с.
2. Заславский А. А. , Геометрические преобразования: Учебное пособие/ Заславский А. А. — Москва: МЦНМО, 2004. — 86 с.
3. Дорофеев С.Н, Геометрические преобразования в примерах и задачах: Учебное пособие/ Дорофеев С.Н — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. — 189 с.
4. Ануфриенко С. А., Геометрия 10: Учебное пособие/ Ануфриенко С. А. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2021. — 288 с.
5. Шарыгин И. Ф.. Геометрия 7-9 кл.: Учебное пособие/ Шарыгин И. Ф. — Москва: Дрофа, 2012. — 462 с.
6. Погорелов А. В., Геометрия 7-9 кл.: Учебное пособие/ Погорелов А. В. — Москва: Просвещение, 2014. — 240 с.
7. Болтянский В. Г., Яглом И. М., Геометрия 9 кл.: Учебное пособие/ Болтянский В. Г. — Москва: Просвещение, 1964. — 128 с.
8. Яглом, И.М. Геометрические преобразования. Ч.1 / И.М. Яглом – М., 1955. — 284 с.
9. Атанасян, Л.С. Геометрия: часть 1. / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.
10. Прасолов В. В., Задачи по планиметрии.: Учебное пособие/ Прасолов В. В. — Москва: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.
12. Канель-Белов А.Я. Как решают нестандартные задачи / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи ; под ред. В. О. Бугаенко. – 5-е изд., испр. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009. – 94 с.
11. Прояева И. В., Сафарова А. Д., Организация самостоятельной работы студентов по курсу «преобразования плоскости и методы изображений: Учебно-методическое пособие/ Прояева И. В. — Оренбург: ОГПУ, 2017.–56 с.
12. Учебная программа факультативных занятий «Межпредметные грани математики» для VIII–XI классов учреждений образования, реализующих образовательные программы общего среднего образования: Министерство образования Республики Беларусь 18.07.2022 № 192 – Минск: Министерство образования Республики Беларусь – 20 с.
При введении понятия «преобразование плоскости» основное внимание необходимо направить на понимания определения. Учащиеся должны понимать, что «преобразование плоскости – отображение плоскости на себя» [9, стр. 289]. Чтобы не давать определение понятию «отображение» можно сказать о преобразовании плоскости, как о способе, с помощью которого каждой точке А плоскости ставится в соответствие некоторая точка А′ этой же плоскости.
В случае введения понятия «движение плоскости» добавляется условие о сохранении расстояний между точками. Поэтому полезно привести контрпример с преобразованием плоскости, которое не является движением, то есть не сохраняет расстояние между точками.