Изучение рядов Фурье и их практическое применение
Введение
Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 век
Содержание
Введение……………………………………………………………………. 4
1. Теоретические аспекты рядов Фурье…………………………………... 6
1.1 Основные понятия и сведения……………………………………… 6
1.2 Тригонометрический ряд. Ряд Фурье…………………………….… 6
1.3 Признаки разложимости функции в ряд Фурье………………..….. 7
1.4 Ряды Фурье для четных и нечетных функций..…………………… 8
1.5 Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций …………… 9
1.6 Комплексная форма ряда Фурье ………….………………………… 10
1.7 Задача о колебании струны………………………………………….. 11
2. Практическое применение рядов Фурье……………………………….. 14
Заключение…………………………………………………………………. 20
Список использованных источников……………………………………… 21
Список использованных источников
1. Бари, Н.К., Тригонометрические ряды./ Н.К. Бари. − М: Москва, 1961. – 936с.;
2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005 – 736с.;
3. Бугров, Я.С. Высшая математика: Учебник для вузов: в 3 т./Я.С. Бугров, С.М. Никольский; под ред. В.А. Садовничего. – 6 –е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 512 с.;
4. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: пособие для университетов, пед. Вузов: в 2 ч./И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Садовничего – 3 –е изд., испр. – М.: Дрова, 2001. – 712 с.;
5. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т.2. Учебник для студентов вузов./А.А. Гусак. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – 448 с.;
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для вузов: 2 ч./ П.Е. Данко, А.Г. Повов, Т.Я. Кожевникова. Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003.- 306с.;
7. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов (математические основы)/А. Лукин. – М., 2007. – 54 с;
8. Пискунов, Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления для втузов, т.2: Учебное пособие для втузов./Н.С. Пискунов. – 13-е изд. – М.: Наука, 1985, - 432 с.;
9. Рудин, У. Основы математического анализа./У. Рудин. – 2-е изд., Пер. с англ. – М.: Мир, 1976 – 206 с.;
10. Фхтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Часть 2./Г.М. Фихтенгольц. – 6- е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. -464 с.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
1.4 Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пу