Теория алгебраических чисел и возможности её применения к решению задач
ВВЕДЕНИЕ
Теория чисел - раздел математики, занимающийся изучением свойств чисел как математических объектов. Теория чисел возникла как продолжение арифметики, то есть, науки о натуральных числах. На протяжении многих столетий понятие числа углублялось и пополнялось новыми элементами. В настоящее время в теорию чисел включают изучение не только натуральных чисел, но и множества целых чисел, множества рациональных чисел, множества алгебраических чисел, а также изучение функций различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
Если рассматривать многочлен: fx=xn+a1xn-1+…anс целыми коэффициентами, то целые числа являются корнями многочлена, когда этот многочлен имеет степень n=1. Тогда, во множестве комплексных чисел естественно выделить целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел - задача алгебраической теорией чисел. Она занимается изучением различных классов алгебраических
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ. 3
1.1. ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ 3
1.2. СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО И СОСТАВНОГО РАСШИРЕНИЙ. 4
ГЛАВА 2. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 11
2.1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 11
2.2 ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 19
ПРИЛОЖЕНИЕ 20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука, 2022. – 504 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел: учебное пособие для вузов. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.
3. Ван дер Вандер Б.Л. Алгебра. – М.: Мир, 2019. – 649 с.
4. Винберг Э. Б. Курс алгебры. – М.: Издательство «Факториал Пресс», 2019. – 544 с.
5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Лань, 2004, – 176 с.
6. Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.: Просвещение, 1964. – 144 с.
7. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел – М.: Просвещение, 1970. – 128 с.
8. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 2012. – 559 с.
9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры – 9-е изд. – М.: Наука, 2020. – 430 с.
10. Манин Ю.И., Панчишк
Покажем, что векторы (26) линейно независимы. Действительно, допущение противного, т.е., обращение в нуль некоторой их нетривиальной линейной комбинации, эквивалентно тому, что r(α) = 0 (см. (24)) при том, что многочлен r ≠ 0. Но в этом случае соотношение deg r<deg p вступает в противоречие с выводом по минимальному многочлену алгебраического числа. Итак, числа (26) - как векторы в F(α) - линейно независимы, что в свою очередь, вместе с (27), указывает на (26) как на базис пространства F(α).
Вывод. Если α − алгебраическое степени n (deg α = n) число над числовым полем F, то