Гомоморфизмы групп
ВведениеГомоморфизмы групп - это фундаментальное понятие алгебры, которое имеет огромное значение в математике, физике, химии и других науках. Гомоморфизмы групп являются основным инструментом для изучения структуры групп и связанных с ними теорий.
Группа - это математический объект, который состоит из множества элементов и операции, называемой умножением. Основное свойство групп заключается в том, что операция умножения удовлетворяет определенным аксиомам. Между группами может существовать отображение, сохраняющее структуру операции умножения, которое называется гомоморфизмом групп.
Гомоморфизмы групп позволяют связывать одну группу с другой, что позволяет изучать структуру групп и их свойства. Например, группы могут быть изоморфны друг другу, если между ними существует биективный гомоморфизм. Это означает, что группы имеют одинаковую структуру операции умножения.
Одно из основных применений гомоморфизмов групп заключается в изучении подгрупп и фактор-групп.
Содержание
Введение 3
1. Основные определения и понятия 4
1.1. Группы и основные операции 4
1.2. Определения гомоморфизмов групп, изоморфизмов, эпиморфизмов и мономорфизмов 5
1.3. Свойства групповых гомоморфизмов 6
2. Образ и ядро гомоморфизма 8
2.1. Определение образа и ядра гомоморфизма 8
2.2. Примеры ядра и образа в различных группах 9
2.3. Связь между образом, ядром и группами 11
3. Теоремы и результаты, связанные с групповыми гомоморфизмами 15
3.1. Первая теорема о гомоморфизмах 15
3.2. Вторая теорема о гомоморфизмах 17
3.3. Третья теорема о гомоморфизмах 19
4. Примеры групповых гомоморфизмов 22
4.1. Приведение к каноническому виду под группами гомоморфизмов 22
4.2. Разложение сложного гомоморфизма на простые 24
Заключение 27
Список литературы 28
Список литературы
1. Ландсберг, Е. Г. Применение алгебраического аппарата вачах иностранной математической олимпиады. Зарубежные математические олимпиады / Е.Г. Ландсберг. - М.: Наука, 1990. - 200 с.
2. Поспелов, А.Г. Элементы теории групп / А.Г. Поспелов. - М.: Мир, 1976. - 312 с.
3. Галлегер, Г. Теория групп / Г. Галлегер. - М.: Мир, 1995. - 232 с.
4. Винберг, Е. Б. Линейная алгебра и группы / Е. Б. Винберг. - Москва: МЦНМО, 2008. - 240 с.
5. Хаузен, Дж. и Йохансон, Дж. А. Определение абелевых p - групп кольца эндоморфизмов / J. Hausen, J. A. Johansson. - J. Algebra, 174, № 1 (1995). - 224 с.
6. Мэй, У. Изоморфизм эндоморфныхизм-алгебр над полными дисконтирующими кольцами нормирования / У. Мэй. - Math. Z., 204, № 4 (1990). - 499 с.
7. Мишина, А. П. Абелевы группы / А. П. Мишина. - J. Math. Sci., 76, № 6 (1995). – 2792 с.
Ядро группы: { 1, -1 }Образ группы: все элементы группы кватернионов.
2.3. Связь между образом, ядром и группамиСвязь между образом, ядром и группами является одним из важных понятий в теории групп. Обратимся к литературам, чтобы более подробно рассмотреть эту связь и получить несколько примеров.
Образом группы G называется множество всех элементов g ∈ G, полученных как g = h · x, где h ∈ H - фиксированная подгруппа группы G, а x ∈ X является элементом группы G. Образ H относительно элемента x является левым смежным классом Hx. Для каждой подгруппы H группы G определяется соответствующий ей системы левых смежных классов H\G — это разбиение множества G на классы смежности, где каждый класс содержит элементы, равноудаленные от элементов из H.
Определим теперь понятие ядра. Ядро гомоморфизма f: G → G' — это подмножество H группы G, такое что f(h) = e' для всех h ∈ H.