Вывод дифференциальных уравнений волновых процессов
Введение
Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое связывает зависимую переменную с ее производной. Оно описывает изменение какой-то величины в зависимости от ее скорости изменения. Под дифференциальным уравнением в частных производных понимается уравнение для функции двух или большего числа переменных, содержащее хотя бы одну частную производную этой функции. При этом сама функция и независимые переменные могут и не входить в уравнение явным образом.
Исторически большинство математических моделей, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных, были разработаны для решения задач, описывающих физические процессы прежде всего в гидродинамике, аэромеханике и электродинамике. Именно поэтому в приложениях дифференциальные уравнения в частных производных получили название уравнений математической физики [1 – 5].
В настоящее время с помощью таких уравнений моделируют процессы различной природы: физические, химические, биологические, экологические,
Содержание
Введение 4
1 Уравнение колебаний струны 5
2 Физические процессы, описываемые одномерным уравнением колебаний 9
3 Бесконечно малые функции 11
4 Закон Гука 14
5 Распределенные силы 16
6 Классификация уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными 18
Заключение 19
Список использованных источников 20
Список использованных источников
1 Мартинсон, Л.К. Дифференциальные уравнения математической физики / Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 368 с.
2 Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными / О.А. Олейник. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 260 с.
3 Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров / С. Фарлоу. – М.: Мир, 1985. – 384 с.
4 Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.
5 Шубин, М.А. Лекции об уравнениях математической физики / М.А. Шубин. – М.: МЦНМО, 2003. – 303 с.
6 Кустов, Ю.А., Юмагулов М.Г. Математика. Основы математического анализа: теория, примеры, задачи / Рольф. – М.: Айрис-пресс, 1998. – 272 с.
7 Кошкин, Н.Н., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике / ? – М.: Изд-во «Наука», 1972. – 256 с.
8 Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики / ? – М.: Высш. шк., 1986. – 416 с.
Такая информационная емкость уравнений математической физики обусловлена тем, что в их основе лежат фундаментальные законы природы, такие, например, как законы сохранения, связанные с симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому такие, на первый взгляд, различные процессы, как распространение теплоты в сплошной среде, диффузия химических компонентов, проникновение магнитного поля в хорошо проводящую среду и распространение волн эпидемий, можно описать одинаковыми по форме уравнениями.
Дифференциальные уравнения отражают внутренние механизмы процессов, которые могут протекать в бесчисленном разнообразии окружающих нас тел, имеющих различные форму, размеры и свойства. Поэтому любое уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Особенности же конкретного процесса устанавливают заданием (описанием) дополнительных условий, выделяющих конкретный процесс из всех остальных. Дифференциальные уравнения широко используются для описания волновых процессов, таких как распространение звука и световых волн.
В данной курсовой работе мы остановимся