Методы решения алгебраических неравенств
Введение
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счётом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Ежедневно, люди разных сфер сталкиваются с неравенствами в своей жизни.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Изучением понятия неравенства занялись еще древние греки с конца III в. до н.э. В своих работах Архимед, занимаясь вычислением длины, указал границы числа. Позже ряд неравенств появляется и в работах Евклида. Как известно, Нильс Хенрик Абель внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени. Множество ученых на протяжении долгих лет вносили свои вклады в изучение алгебраических неравенств. Современные знаки неравенств появились благодаря таким ученым как Р.Рекорд, Томас Гарриот и Пьер Бугер. Так знаки появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Томас Гариот. Он воспользовался ими для соотношения «больше» и «меньше» при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Моделями различных математических и физических задач являются алгебраические и трансцендентные неравенства. Неравенства, в которых связаны алгебраические операции и их сложные комбинации называются алгебраическими, которые входят в часть элементарной математики. Исходя из того, что существует многообразие видов алгебраических неравенств, определяют различные методы их решения.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………….. ..3
Глава 1 Алгебраические неравенства в элементарной математике……………5
1.1 Неравенства, их свойства, роль и место в элементарной математике………..5
1.2 Преобразования неравенств…………………………………………………....10
Глава 2 Методы решения алгебраических неравенств………………………...13
2.1 Линейные неравенства………………………………………………………….13
2.2 Рациональные неравенства……………………………………………………..15
2.3 Квадратные неравенства………………………………………………………..19
2.4. Иррациональные неравенства…………………………………………………24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….30
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ............…………………………..31
Список использованных источников
1. Антонов, В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие для студентов вузов / В.И. Антонов, Ф.И. Копелевич. − СПб.: «Лань», 2013. – 112 с. – Текст: непосредственный.
2. Баранова, Е.В. Элементарная математика: Учебно-методическое пособие - Часть 1: учебно-методическое пособие / Баранова, Е.В., Менькова, С.В – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с. – Текст: непосредственный.
3. Вавилов В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. / Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. — М.: Наука, 1987. — 240 с. – Текст: непосредственный.
4. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия / И.М. Виноградов. - Москва : Сов. энциклопедия, [Т.] 1: 1977. - 1151 с. : ил.; см. - (Энциклопедии, словари, справочники). – Текст: непосредственный.
5. Гущин, Д.Д. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]: Образовательный портал. − https://ege.sdamgia.ru/
6. Дорофеев Г.В. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по физ-мат. спец–м/, Дорофеев, Г.В., Блох, А., Гусев В.А. и др. Сост. В.И. Мишин. – М. : Просвещение, 1987. – 416 с. – Текст: непосредственный.
7. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающихся во втузы [Текст]: Учебник для вузов / Егерев, В.К., Зайцев, В.В. – М.: «Мир и образование», 2013. – 608 с. – Текст: непосредственный.
8. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: Учебное пособие для учащихся средней школы / Ю.М. Колягин. – М.: «Мнемозина», 2010. – 264 с. – Текст: непосредственный.
9. Киселев, А.П. Алгебра Ч. 2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 – 248 с.- ISBN 5-9221-0533-7. – Текст: непосредственный.
10. Медведева, Т.В. Психолого-педагогические основы обучения математике. Теория, методика, практика / Медведева, Т.В. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 204 с. – Текст: непосредственный.
11. Моденов, П.С. Математика: Пособие для поступающих в вузы / Моденов, П.С. – М.: «Новая волна», 2002. – 800с.: ил. - ISBN 5-7864-0160-Х. – Текст: непосредственный.
12. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс : Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович, А.Г. – М.: «Мнемозина», 2010. - 215 с. – Текст: непосредственный.
13. Некрасова, Н.Н. Математика: уравнения и неравенства: учебное пособие / Некрасова, Н.Н., Горяйнов, В.В., Чесноков, А. С., Сумера, С. С. — Воронеж : Воронежский государственный технический университет, 2019. — 102 c. — ISBN 978-5-7731-0774-3. — URL: https://www.iprbookshop.ru/93321.html (дата обращения: 25.04.2022). — Режим доступа: по подписке. — Текст: электронный.
14. Нечаев, И. Д. Неравенства и уравнения: учебное пособие / Нечаев, И. Д — Барнаул : Алтайский государственный педагогический университет, 2016. — 79 c. — ISBN 978-5-88210-821-1. — URL: https://www.iprbookshop.ru/102841.html (дата обращения: 25.04.2022). — Режим доступа: по подписке. — Текст: электронный.
15. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Кн.1. Алгебра / Сканави М. И. — М.: Высш. школа, 1992, 2013. – 606 с. – Текст: непосредственный.
16. Хорошилова, Е.В. Элементарная математика: Теория чисел. Алгебра: Учебное пособие для вузов / Хорошилова, Е.В. – М.: «Москва», 2010. – 472 с. – Текст: непосредственный.
17. Шалаева, Г.П. Больше - меньше (неравенства множеств) / Шалаева, Г.П. — М. : АСТ, Слово, 2010.– 64 с. Текст: непосредственный.
18. Шахмейстер, А.Х. Дробно-рациональные неравенства: Пособие для школьников, абитуриентов и учителей / Шахмейстер, А.Х. – М.: МЦНМО : СПб.: «Петроглиф», 2008. – 248 с.: илл. – ISDN 978-5-94057-381-1. – Текст: непосредственный.
С действием возведения в степень связаны разные виды выражений. Будем рассматривать выражения с переменными, при образовании которых используются действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, причем возведение в степень хотя бы один раз применено к выражению с переменной. Если показатель степени целый, то возникает рациональное выражение, если дробный, то — иррациональное выражение, а если иррациональный, то — трансцендентное выражение. Рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений. Основной метод решения иррациональных неравенств – это метод возведения в степень. При этом неравенство сводится к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но иногда простое возведение при обеих частей неравенства в одну и ту же степень может привести к потере корней или же, наоборот, к приобретению посторонних корней. Необходимо учесть, что в основе данных преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень. Следовательно, при решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений.