Векторный метод решения планиметрических задач
Введение
Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально — логически осмыслить.Знание геометрии важно не только в школе, но и в повседневной жизни людей. В данной курсовой работе рассмотрен векторный метод решения различных планиметрических задач. Геометрия возникла из практических потребностей людей. При строительстве жилищ и изготовлении орудий труда у человека появилась необходимость уметь определять форму и размеры предметов. Известно, что уже около 4000 лет тому назад жители Древнего Египта и Вавилона обладали значительными запасами геометрических сведений. Первые доказательства геометрических фактов были представлены древнегреческим философом и математиком Фалесом Милетским. Позже знания о геометрии совершенствовались другими математиками. Планиметрия представляет собой замкнутую модель науки, внутри которой можно бесконечно совершенствоваться, дает большие возможности для развития творческого, интеллектуального, создает тот самый развивающий дискомфорт, преодолевая который, ребенок только и может двигаться вперед в своем развитии [2]. Успешность во многом зависит от самого человека, от его инициативы и творчества.
Оглавление
Введение 2
Глава 1. Векторы, операции над векторами 4
1.1 Основные понятия и операции над векторами 4
1.2 Координаты вектора 8
Глава 2. Векторный метод решения геометрических задач 13
2.1 Суть векторного метода решения геометрических задач 13
2.2 Примеры решения геометрических задач векторным методом 14
2.2.1 Задачи по теме «Координаты вектора» 14
2.2.2 Задачи по теме «Сложение и вычитание векторов» 15
2.2.3 Задачи по теме «Умножение вектора на число» 16
2.2.4 Задачи по теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» и «Скалярное произведение векторов» 17
2.2.5 Задачи по теме «Разложение вектора по координатным осям» 18
2.2.6 Задачи по теме «Комплексные задачи по планиметрии» 18
Заключение 27
Список литературы 28
Список литературы
1. Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие – Мн.: Выш. Шк., 1987.
2. Смирнова, И.М. Реализация метапредметного подхода в обучении геометрии / И.М. Смирнова // Вестник МГОУ. - 2018. - № 2. - С. 94-99.
3. Александров, А.Д. Гометрия: учеб. пособие / А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев. - Москва.: Наука, 1990. - 672 с.
4. Кушнир А.И. Векторные методы решения задач/ А.И.Кушнир. — Киев: Издательство «Обериг», 1994 - 207с.
5. Метельский, Н.В. Дидактика математики / Н.В. Метельский. – Мн.: Изд-во БГУ, 2012. – 254 с.
6. Зеленяк, О.П. Решение задач по планиметрии. / О. П. Зеленяк. - Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. - 336 с.
7. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. / В. В. Прасолов. - Москва: 2006. - 640 с.
8. Саранцев, Г.И. О методике решения планиметрических задач.
9. Энциклопедический словарь юного математика. / Москва:1989.
10. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика - учеб. пособие для студентов физ.-мат. факт. пед. институтов. М.: Просвящение, 2000.
11. Программы средней общеобразовательной школы. Математика - М.: Просвещение, 2001.
12. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополненное — М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2001 (эл. версия).
Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей. Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач. Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях. Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): два ненулевых вектора a→ и b→ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число k≠0, такое, что удовлетворяется следующее равенство Утверждение 2: если векторы a→ и b→ не коллинеарны, то любой вектор c→, компланарный с данными векторами можно представить в виде линейной комбинации и притом единственным образом: Утверждение 3: любой вектор d→ в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам a→, b→ и c→: При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.