Геометрические построения одной линейкой
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа направлена на изучение геометрического построения одной линейкой, существует огромное количество типов задач, а также методов их решения. Знание множества методов помогает свободно решать различные задачи, выбирая более подходящий способ решения для определенного вида. Данная тема актуальна, так как задачи на построение представляют собой средство для развития логического мышления. Целью курсовой работы является изучение методов решения задач на построение одной линейкой.
В соответствии с данной целью, необходимо выполнить следующие задачи:
1. Изучить теоретический материал, связанный с построениями;
2. Рассмотреть теорему Дезарга, свойства полного четырехвершинника, лемму о трапеции;
3. Подобрать и решить задачи на построение, выполняемые одной линейкой;
4. Описать геометрические построения на плоскости, выполняемые одной линейкой.
Объект исследования: геометрические задачи на построение одной линейкой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………….…..3
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ОДНОЙ ЛИНЕЙКОЙ
1.1 Историческая справка……….............……………………………………………4
1.2 Общие аксиомы конструктивной геометрии…………..............………………..7
1.3 Теорема Дезарга…………………………………………............………………10
1.4 Гармоническая четверка точек…………………………............………………14
ГЛАВА 2 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ОДНОЙ ЛИНЕЙКОЙ
2.1 Применение теоремы Дезарга …………………………………....……………18
2.2 Применение свойств полного четырёхвершинника………......……………....20
2.3 Применение Леммы о трапеции………………………………...……………..21
Заключение…………………………………………………………………………..23
Библиографический список………………………………………...………………24
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Адлер А. Теория геометрических построений Die Theorie der geometrischen Konstruktionen: пер. с нем. Г. М. Фихтенгольца. 3-е изд., М., Учпедгиз, 1940. 232 с
2. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плосткости: учеб. пособие для пед. институтов. М.: Физматгиз, 1957. 266 с.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. М.: Просвещение, 1987. 352 с.
4. Певзер С. Л. Проективная геометрия. М.:Просвещение, 1980. 128 с.
5. Горшкова Л.С., Паньженский В.И., Марина Е.В. Проективная геометрия: учеб. пособие для студентов и преподавателей пед. Вузов. Пензенский гос. пед. ун-т им. В.Г.Белинского. Пенза, 2003.164с
6. Далингер В. А. Планиметрические задачи на построение: учеб. пособие. Омск: Изд ОМПУ, 1995. 202с.
7. Богданова Т. А., Лебедев К. И. Геометрические построения ограниченными средствами: учеб. Пособие для учителей. Владимир: Изд. ВГПИ, 1970. 80с
8. Бескин Н. М. и др. Общие принципы геометрических построений // Энциклопедия элементарной математики. Геометрия: в 4 т. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4. С. 160-204.
Четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек общего положения и шести прямых, проходящих через эти точки. Обозначение четырехвершинника: ABCD; точки A, B, C, D называются вершинами четырехвершинника; прямые, проходящие через эти точки - сторонами. Стороны, не имеющие общих вершин, называются противоположными, (AB) и (CD), (AC) и (BD), (BC) и (AD) - три пары противоположных сторон. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками четырехвершинника. Заметим, что у любого четырехвершинника диагональные точки не лежат на одной прямой. Пусть ABCD – четырехвершинник. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим спроецированную систему координат R = (A, B, C, D) и найдем координаты диагональных точек этого четырехвершинника. Решаем систему уравнений прямых (AB): x2 = 0 и (DC) : x0 − x1 = 0, получим координаты диагональной точки Q = (AB) ∩ (DC) : Q(1 : 1 : 0). Аналогично, рассматривая прямые (AD) : x1 − x2 = 0, (BC) : x0 = 0, получим координаты точки R = (AD) ∩ (BC) : R(0 : 1 : 1), а рассматривая прямые (AC) : x1 = 0 и (BD) : x0 −x2 = 0, получим координаты третьей диагональной точки P = (AC)∩(BD) : P(1 : 0 : 1). Легко проверить, что диагональная точка Q не принадлежит прямой P R : x0 + x1 − x2 = 0 Теорема. Пусть Q, R - диагональные точки четырехвершинника, а S, T - точки пересечения диагонали (QR) со сторонами четырехвершинника, проходящими через третью диагональную точку. Тогда точки S, T гармонически разделяют точки Q, R.