Конечные и бесконечные цепные дроби
Введение
Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Содержание
Введение……………………………………………………………...3
Цепные дроби………………………………………………………...4
Бесконечные цепные дроби и их свойства…………………………7
Представление действительных чисел цепными дробями………..
Конечные цепные дроби и их свойства…………………………….
Задачи на конечные и бесконечные цепные дроби………………..
Список используемой литературы
1. Балк М.Б.,Балк Г.Д. Математика после уроков. – М.: Просвещение 1971.
2. Бухштаб. А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение 1996.
3. Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Просвещение 1984.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука 1972.
5. Грибанов В.У.,титов П.И.Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение 1964.
6. Кочева А.А.. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение 1984.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., А.А. Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение 1993.
8. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел.М.: Просвещение 1974.
9. Математическая энциклопедия, том V, М.: Советская энциклопедия 1985.
10. Михелович Ш.Х.. Теория чисел. М.: Высшая школа19 67.
Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа a/b имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным. Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было q_n>1.