Использование на практике методов численного интегрирования.
Введение
Еще во времена античного периода появилось интегральное исчисление.
Математиками Древней Греции был разработан метод исчерпывания, который представлял, разработанный Евдоксом Книдским набор правил для исследования площадей криволинейных геометрических фигур или объёмов геометрических тел.
По этим правилам вычисляли площади и объёмы.
Далее метод получил своё развитие в работах Евклида и Архимеда, который прославился искусством и разнообразием применения метода исчерпывания
И только в XVII веке немецкий учёный Г. Лейбниц и английский учёный И. Ньютон, независимо друг от друга открыли основные принципы дифференциального и интегрального исчислений.
Была создана формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла, Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения a и b и найти их разность:
abfxdx=Fb-FaСейчас «интеграл», который переводится с латыни как «целый» – одно из важнейших понятий математического
Содержание
Введение2
1. Теоретическая часть4
1.1 Понятие определенного интеграла4
1.2 Постановка задачи численного интегрирования6
1.3 Метод прямоугольников8
1.4 Метод трапеций11
1.5 Метод Симпсона (метод парабол)14
2. Практическая часть18
2.1 Применение метода прямоугольников при приближенном вычислении определенных интегралов18
2.2 Применение метода трапеций при приближенном вычислении определенных интегралов21
2.3 Применение метода Симпсона при приближенном вычислении определенных интегралов24
Заключение27
Список использованной литературы28
Список использованной литературы
1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 2: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.П. Аксенов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 344 c.
2. Ахмадиев Ф.Г., Габбасов Ф.Г., Ермолаева Л.Б., Маланичев И.В. Численные методы. Примеры и задачи. Учебно-методическое пособие по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика»: Казань: КГАСУ, 2017. ‒ 107 с.
3.Баврин И. И. Математический анализ - М.: Юрайт. 2019. 327 с. https://www.biblio-online.ru/viewer/matematicheskiy-analiz-427808.
4. Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2007.
5. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ в 2 ч. - М.: Юрайт. 2019. 324 с.
https://www.biblio-online.ru/viewer/matematicheskiy-analiz-v-2-ch-chast-1-v-2-kn-kniga-1-437203
6. Кацман Ю.Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. - Томск: Изд. ТПУ, 2000. —68 с.
7. Никитин А. А. Математический анализ. Сборник задач - М.: Юрайт. 2019. 206 с.
https://www.biblio-online.ru/viewer/matematicheskiy-analiz-sbornik-zadach-432850
8. Потапов А. П. Математический анализ .дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной - М.: Юрайт. 2019. 256 с.
https://www.biblio-online.ru/viewer/matematicheskiy-analiz-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-1-433687
9. Плотникова Е.Г. Математический анализ. Сборник заданий - М.: Юрайт. 2019. 206 с. https://www.biblio-online.ru/viewer/matematicheskiy-analiz-sbornik-zadaniy-445454.
10. Шапкин А. С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, мат. программированию с решениями. – М.: Высшая школа, 2005.
11. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сб. задач с реш.: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: Инфра-М, 2017. - 736 c.
рного отрезка xk-1;xk интерполяционным полиномом нулевой степени, то есть постоянной величиной.
При этом значение элементарного интеграла равно площади прямоугольника, а интеграл на отрезке a;b – сумме этих площадей.
Пусть на отрезке a; b a<b задана непрерывная функция y=fx.
Рисунок 1.3.1 – Геометрическая иллюстрация метода прямоугольников
Нам требуется вычислить определенный интеграл:
I=abfxdxС геометрической точки зрения для функции y=fx, неотрицательной на отрезке a;b точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры.
Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота – значением подынтегральной функции