Дифференциальные уравнения
Основная задача методической разработки – обеспечить овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.
В результате изучения темы студент должен знать основные понятия дифференциальных уравнений, методы, обеспечивающие широкий спектр их применения, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и использовать полученные знания для решения стандартных задач.
Целью изучения темы «Дифференциальные уравнения» является ознакомление с понятием обыкновенного дифференциального уравнения и методами решения простейших дифференциальных уравнений.
Задачи:
- Познакомить студентов с понятием дифференциальные уравнения;
- Научить студентов решать наиболее распространенные типы дифференциальных уравнений
Каждая тема методической разработки содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме.
Содержание
Пояснительная записка
Занятие №1
Тема 1: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши для дифференциальных уравнений.
Теоретическая часть
Самостоятельная работа
Домашнее задание к занятию №1
Занятие №2
Тема 2: Линейные дифференциальные уравнения.
Проверка домашнего задания
Теоретическая часть
Задание для решения:
Контрольная работа
Домашнее задание к занятию №2
Приложение 1 Дидактические карточки к занятию №1
Приложение 2 Решение самостоятельной работы. Шкала оценок
Приложение 3 Решение контрольной работы. Шкала оценок
Литература
Литература
- Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.
- Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.
- Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.
- Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.
- Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.
я непосредственным интегрированием.
Замечание:
Пример 3:
Решить уравнение xdx+ydy=0
Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим
.
Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x2+y2=C2. Это и есть общее решение.
Найти частное решение ДУ y'=x2-1, если y=4 при x=1.
Решение: Заменим , получим dydx=x2-1, перемножим крест на крест . Интегрируя, имеем , откуда . Итак, получаем ответ: - частное решение ДУ.
Определение: Уравнение вида , где - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Пример 4 (ДК №3): - ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными
Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.
Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
Разделяют переменные.
Интегрируют обе части раве