Использование модификаций метода стабилизаций связей для решения задач динамики физических систем
Введение
Идея о существовании законов природы не нова и, на первый взгляд не так очевидна. Лишь недавно по историческим меркам, как Исаак Ньютон опубликовал фундаментальную работу [1], в которой на языке математики описываются механические движения. Книга Ньютона и многие последующие работы послужили основой для возникновения такой дисциплины как механика. Механика стремительно развивалась, поскольку именно описание движения тел помогало развитию не только инженерной мысли, но и находило применение в других областях человеческой деятельности. Наряду со становлением механики развивался также и математический аппарат. Начала аналитической механики были изложены Жозефом Лагранжем [2]. В лагранжевом формализме динамику системы можно описать в терминах обобщенных координат. Для этого лагранжиан представляется в виде функции, зависящей от обобщенных координат системы, далее по этой функции составляются дифференциальные уравнения движений, и исследуется динамика системы. Раусом [3] было предложено для части обобщенных переменных, а именно, для циклических координат записывать уравнения динамики с использованием обобщенных импульсов по этим переменным.
Оглавление
Введение
Модификация алгоритма решения систем уравнений динамики со стабилизацией связей
1 Стабилизация голономных связей
2 Стабилизация неголономных связей
3 Стабилизация связей уравнений динамики, записанных в форме уравнений Воронца
4. Примеры
Определение ограничений, накладываемых на коэффициенты линейной системы уравнений возмущений связей
1 Оценка параметров возмущения
2 Оценка максимальной ошибки при численном интегрировании методом Эйлера первого порядка
3 Применение метода стабилизации связей при обходе сингулярных точек численного решения на примере задачи о качении шара
Построение систем дифференциальных уравнений заданной стркутуры с учетом стабилизации связей
1 Построение систем уравнений с учетом стабилизации связей
Использование метода стабилизации связей для решения прикладных задач
1 Моделирование динамики многозвенной системы
2. Стабилизация первых интегралов в задаче Лоудена
Заключение
Список литературы
Список литературы
[1]Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica/ Jussu Societatis Regiae ac Typis Josephi Streater. Prostat apud plures bibliopolas, 1687.
[2]Lagrange J.-L. Mécanique Analytique/ Cambridge University Press, 2009.
[3]Routh E. J. Dynamics of a System of Rigid Bodie /MACMILLAN AND CO LONDON, 1913. – 59 p.
[4]Hamilton W. R. XV. On a general method in dynamics; by which the study of the motions of all free systems of attracting or repelling points is reduced to the search and differentiation of one central relation, or characteristic function // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. – 1834. – Vol. 124. – p. 247-308.
[5]Hamilton W. R. VII. Second essay on a general method in dynamics // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. – 1835. – Vol. 125. – p. 95-144.
[6]Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа т. II / Москва : ВШ, 1981. – 584 с.
[7]Полак Л. С. Вариационные принципы механики / Физмалит, 1959. – 930 с.
[8]Hertz H. Ueber die Berührung fester elastischer Körper // Journal für die reine und angewandte. – 1882. – vol. 1882. – No 92. – p. 156-171.
[9]Ланцош К. Вариационные принципы механики /Москва : Мир, 1965. – 408 с.
[10]Чаплыгин С. . Исследование по динамике неголономных систем / Москва - Ленинград : Гостехиздат, 1949. – 112 с.
[11]Woronets P. Über die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers // Mathematische Annalen. – 1912. – No 71. – p. 431-441.
[12]Appell P. Sur une forme générale des équations de la dynamique / Gauthier-Villars, 1925. – 53 p.
[13]Неймарк Ю. И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем / – Наука, Физматлит, 1967. – 520 с.
[14]Beghin H. Étude théorique des compas gyrostatiques Anschutz et Sperry / Paris, 1922. – 137 p.
[15]Азизов А. Г. К динамике систем, стесненных сервосвязям // Научные труды Ташкентского госуниверситета. – 1971. – Т. 397. – С. 3-10.
В соответствии с поставленными целями, в диссертационной работе получены следующие результаты:В первой главе разработан алгоритм решения систем дифференциально – алгебраических уравнений динамики, записанных в форме уравнений Чаплыгина и Воронца, с использованием метода стабилизации связей.Во второй главе получено выражение для оценки максимальной величины отклонения численного решения от уравнений связей с установлением зависимости величины данного отклонения от функции стабилизации связей. Применение метода стабилизации связей для обхода сингулярных точек на примере задачи динамики твердого тела успешно обеспечивает траекторию, соответствующую численному решению.В третьей главе показано, что в случае редуцирования систем дифференциальных уравнений второго порядка к виду уравнений Лагранжа второго рода для решения задачи стабилизации связей необходимо ввести функцию диссипации, при этом устанавливается между ними функциональное соотношение.В четвертой главе успешно решена задача стабилизации связей движения многозвенной системы, описывающей динамику скатывающегося по наклонной плоскости экзоскелета. Также продемонстрировано, что обобщение метода стабилизации частных интегралов позволяет получить локально устойчивое численное решение уравнений Понтрягина в задаче по поиску оптимальной траектории ракеты переменной массы.