Связанная нестационарная задача термоупругости для длинного анизотропного цилиндра
Введение
Актуальность работы заключается в том, что большинство строительных конструкций испытывает нестационарный неравномерный нагрев, что приводит к образованию больших деформаций и механических напряжений. Для их определения используются различные теории термоупругости, в которых формулируется несамосопряженная система исходных дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент вектора перемещений и функции приращения температуры. Сложность ее исследования приводит к тому, что рассматриваемые задачи решаются приближенными численными или вариационными методами. Однако слабую связанность упругих и температурных полей удается учесть в расчетах только с помощью аналитических методов, позволяющих построить замкнутое решение. Один из таких математических подходов — метод неполного разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований. При этом в случае исследования несамосопряженных дифференциальных уравнений получить общий интеграл удается при использовании специального разложения в виде обобщенного биортогонального преобразования. Исследования производились в программе расчетно-вычислительного комплекса MathCat. С его помощью выполнены инженерно-научные расчеты на естественном математическом языке, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволило получить готовый итоговый документ.
Введение………………………………………………………………………...…7
Глава 1. Обзор научных исследований термоупуругих процессов……………9
1.1 Изучение основополагающей базы термоупругости………………………9
1.2 Изучение GL- и GN–теории термоупругости……………………………...12
1.3 Метод конечных элементов при решении задач термоупругости………..14
1.4 Обзор научных исследований термоупругих полей……………………....17
Глава 2. Связанная нестационарная задача термоупругости для длинного анизотропного цилиндра при удовлетворении граничных условий первого и второго рода……………………………………………………………………...28
2.1 Постановка задачи…………………………………………………………...28
2.2 Построение общего решения………………………………………………..31
Глава 3. Численный анализ результатов связанной нестационарной задачи термоупругости для длинного анизотропного цилиндра……………………..49
Заключение……………………………………………………………………….58
Список литературы………………………………………………………………60
Приложение №1. Общий алгоритм расчета в программе расчетно-вычислительного комплекса МathCat………………………………..78
Список литературы
Аксельрад, Э.Л. О температурных деформациях неоднородных ортотропных оболочек / Э.Л. Аксельрад // Труды Ленингр. ин-та инжен. ж-д. тр. – 1966. – вып.249. – С.181–186.
Андреев, А.Н. Математическая модель термоупругого деформирования слоистых композитных оболочек и пластин / А.Н. Андреев // Изв. Алтайского гос. ун-та. – Т.1.№81. – 2014. – С. 19–21.
Афанасьев, Е.Ф. Некоторые задачи для уравнения теплопроводности со смешанными граничными условиями / Е.Ф. Афанасьев // Дифференциальные уравнения. Ин-т проблем механики АН СССР. – 1965. – Т.1. №5. – С. 663–670.
Бажанов, В.А. Расчет конструкций на тепловые воздействия / В.Л. Бажанов, И.И. Гольденблат, Н.А. Николаенко, А.М. Синюков. – Москва: Машиностроение, 1969. – 599 с.
Био, М.А. Вариационные принципы теории теплообмена / М.А. Био. – М.: Энергия, 1975. – 208 с.
Бойко, С. Б. Расчет двумерных тепловых стационарных периодических полей в многослойных плитах / С.Б. Бойко, И.Г. Величко // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. – 2014. – № 2. – С. 111–116.
Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. – М.: Мир, 1964. – 517 с.
Болотин, В.В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких оболочках при наличии источников тепла / В.В. Болотин // ПММ. – 1960. – Т.24, 2. – С. 361–366.
Брыков, Н.А. Решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности / Н.А. Брыков // Международный научно-исследовательский журнал. – 2016, – №5 (47). – С. 52-55.
Бутковский, А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами : учеб. пособие / А.Г.Бутковский. – М.: Наука, 1979. – 224 с.
Валишвили, Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач / Н.В. Валишвили. – ПММ. – Т.32, №6. – 1968.
Варданян, С.А. Асимптотический анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонких пластин / С.А. Варданян, С.О. Саркисян // Известия НАН Армении. Механика. – 2007. – Т. 60. № 3. – С. 64-77.
Основное преимущество МКЭ состоит в его возможности решать практически любые краевые задачи, к тому же с помощью данного метода возможен расчёт различных областей сложной геометрической формы. Но также имеются и недостатки данного метода, это сложение "элементных" решений по конкретному правилу, который не решает эту задачу для всего объекта. То есть невозможно учесть все характеристики температурного распределения и дать анализ о влиянии разных факторов на температурное поле рассматриваемого объекта. Еще одним недостатком является то, что данный метод предназначен для решения главным образом стационарных задач, а решение нестационарных задач с помощью МКЭ представляет собой отдельную математическую сложность, которую мы будем рассматривать в данной диссертации. Учитывая то, что МКЭ представляет собой деление всей системы на отдельные элементы, можно сказать, что это лишь приближенный метод расчета. Известно, что при чрезмерном измельчении конечно–элементной сети точность расчета увеличивается, однако это приводит к значительным ошибкам в самом вычислении. Степень дискретизации во многом зависит от типа конечного элемента, точнее от распределения температуры в конечном элементе. Применение этого закона распределения обозначает то, что в случае, когда температурное поле сильно отличается от линейного поля, ошибка в расчетах будет очень большой. Поэтому решение нестационарных задач с помощью МКЭ представляет собой отдельную математическую проблему. Кроме того, данный численный подход не в состоянии точно описать связанность термомеханических полей. Поэтому для решения связанных задач термоупругости необходимо использовать методы, которые в рамках используемой теории позволяют получить замкнутые решения. При этом сложность построения аналитических решений заключается в исследовании несамосопряженной дифференциальной системы связанных уравнений теплопроводности и движения. Для преодоления данных трудностей используются различные упрощения: рассматривается только задача теплопроводности, когда деформация упругой системы в расчете не учитывается или рассматриваются несвязанные краевые задачи при анализе работ конструкций с вырожденной геометрией. В рамках данных допущений выполнено достаточно большое количество работ.