Анализ динамики взаимодействующих экономик в рамках макроэкономической модели Кейнса
Введение
Современная математика характеризуется быстрым проникновением в другие науки, во многом благодаря разделению математики на несколько самостоятельных дисциплин. Во многих областях знаний математика является не только количественным инструментом, но и методом тщательного исследования и средством прояснения концепций и проблем. Без современной математики и не сложных логических и вычислительных инструментов прогресс во многих областях человеческой деятельности был бы невозможен.
Экономика, как наука, изучающая объективные причины функционирования и развития общества, вобрала в себя ряд математических методов, позволяющих использовать различные количественные свойства.
Одним из примеров взаимодействия экономики и математики, является экономическая модель Кейнса, призванная объяснить, описать цикличность рыночной экономики.
Оглавление
Введение3
Постановка задачи.5
Анализ устойчивости состояний равновесия.8
О циклах в модели макроэкономики.10
Задача о конкуренции13
Заключение23
Список литературы.
Список литературы.
[1] Keynes J.M. The General Theory of Employment, Interest and Money. Macmillan Cambridge University, for Royal Economic Society in 1936.
[2] Zhang W.B. Synergetic Economics, Berlin, Springer-Verlag. 1991.
[3] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск, Удмуртский Г.У. 2002. 368с.
[4] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука. 1967. 472с.
При этом оно было всегда асимптотически устойчиво.
Анализ устойчивости состояний равновесия.Для первой из них матрица Якоби имеет следующий вид.
-yx21x-y3x2-y23y2x-2yxСледовательно, в точке с координатами x=γ,y=γ2 получаем, что соответствующая матрица приобретает вид
-11γ-2γ4γ3.Откуда получаем характеристический многочлен
λ2+-γ3+1λ+γ3=0.Следовательно, состояние экономического равновесия S1 асимптотически устойчиво, если γ∈0,1. При этом следует помнить, что γ>0 по постановке задачи.
При γ>1 состояние экономического равновесия S1 будет неустойчивым.
При γ=1 реализуется критический случай в задаче об устойчивости. Характеристическое уравнение (8) имеет два числа лишённых собственных значений.
Перейдём теперь к рассмотрению вопроса об устойчивости S2. Матрица Якоби в этом случае имеет следующий вид.